Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{x + 9}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 9$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 9$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.3

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.9

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.11

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.12.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.1.14

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.1.15

Чтобы записать ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.16

Объединим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.18.1

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.19

Упростим ${(x + 9)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20

Перенесем $2$ влево от $x + 9$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 9)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 9}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.21.2.1

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.21.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21.3.2

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 6$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 6$ и $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.4

Упростим.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.5.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.5.4.2

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.11.3

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.12

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.14

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 9}$

Этап 1.1.2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 9}$

Этап 1.1.2.15.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$

Этап 1.1.2.15.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 9)}$

Этап 1.1.2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

Этап 1.1.2.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

Этап 1.1.2.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.2

Пусть $u_{2} = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.2.2.1

Перенесем $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.2.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4.1.2

Упростим.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 9 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4.1.4

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 18 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 18 - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.4.4.3

Вычтем $6$ из $18$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.5.1

Объединим $3$ и $\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.16.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$

Этап 1.1.2.16.5.3

Перепишем $\frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 18}$

Этап 1.1.2.16.5.4

Умножим $\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x + 18}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18)}$

Этап 1.1.2.16.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 18)}$

Этап 1.1.2.16.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 9)}$

Этап 1.1.2.16.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 9))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 9))}$

Этап 1.1.2.16.6.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.6.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x + 9)}$

Этап 1.1.2.16.6.2.2

Возведем $x + 9$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 ((x + 9) {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.2.16.6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.16.6.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.16.6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 1.1.2.16.6.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 (x + 12) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $3 (x + 12) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим каждый член $3 (x + 12) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3.1.2.1.2

Разделим $x + 12$ на $1$ .

$x + 12 = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x + 12 = 0$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x = - 12$

Этап 1.2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = x \sqrt{x + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 9}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 9 \geq 0$

Этап 2.2

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 9$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 9, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 9}$

Интервальное представление:

$[- 9, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 9}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$[- 9, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $[- 9, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 12)}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $3 ((0) + 12)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 ({((0) + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 3)}{{((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $0$ и $9$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{9^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.4.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 4.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{3}}$

Этап 4.2.4.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{27}$

Этап 4.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (0) = \frac{9}{27}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $9$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f'' (0) = \frac{9 (1)}{27}$

Этап 4.2.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Этап 4.2.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Этап 4.2.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{1}{3}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $[- 9, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $[- 9, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5