Математический анализ Примеры

По правилу суммы производная ${\displaystyle x+3{(1-x)}^{\frac{1}{3}}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[3{(1-x)}^{\frac{1}{3}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 3{(1-x)}^{\frac{1}{3}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[{(1-x)}^{\frac{1}{3}}\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=1-x}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 1}$.

Вычтем ${\displaystyle 1}$ из ${\displaystyle 0}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ и ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{2}{3}}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{{(1-x)}^{-\frac{2}{3}}}{3}}$ и ${\displaystyle -1}$.

Перенесем ${\displaystyle -1}$ влево от ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{2}{3}}}$.

Перепишем ${\displaystyle -1{(1-x)}^{-\frac{2}{3}}}$ в виде ${\displaystyle -{(1-x)}^{-\frac{2}{3}}}$.

Перенесем ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{2}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 3}$.

Объединим ${\displaystyle -3}$ и ${\displaystyle \frac{1}{3{(1-x)}^{\frac{2}{3}}}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 3}$ из ${\displaystyle -3}$.

Сократим общие множители.

Вынесем знак минуса перед дробью.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1-\frac{1}{{(1-x)}^{\frac{2}{3}}}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{1}{{(1-x)}^{\frac{2}{3}}}]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{{(1-x)}^{\frac{2}{3}}}}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{{(1-x)}^{\frac{2}{3}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left({(1-x)}^{\frac{2}{3}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(1-x)}^{\frac{2}{3}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=1-x}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(1-x)}^{\frac{2}{3}}\right)}^{-2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 1}$.

Вычтем ${\displaystyle 1}$ из ${\displaystyle 0}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ и ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{1}{3}}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{2{(1-x)}^{-\frac{1}{3}}}{3}}$ и ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 2}$.

Перенесем ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{1}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{4}{3}}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Объединим ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{4}{3}}}$ и ${\displaystyle \frac{2}{3{(1-x)}^{\frac{1}{3}}}}$.

Перенесем ${\displaystyle 2}$ влево от ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{4}{3}}}$.

Перенесем ${\displaystyle {(1-x)}^{-\frac{4}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Умножим ${\displaystyle {(1-x)}^{\frac{1}{3}}}$ на ${\displaystyle {(1-x)}^{\frac{4}{3}}}$, сложив экспоненты.

Умножим ${\displaystyle \frac{1}{{(1-x)}^{\frac{2}{3}}}}$ на ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle -\frac{2}{3{(1-x)}^{\frac{5}{3}}}}$ и ${\displaystyle 0}$.