Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 \sqrt{x} + 6$ , $[4, 7]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = 10 \sqrt{x} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[4, 7]$ , найдем область определения $f (x) = 10 \sqrt{x} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[4, 7]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $10 \sqrt{x} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.10

Объединим $10$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.12

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 3.1.3.2

Добавим $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(4, 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(4, 7)$ , найдем область определения $f' (x) = \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{5}{\sqrt{x^{1}}}$

Этап 4.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{5}{\sqrt{x}}$

Этап 4.1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 4.1.3

Зададим знаменатель в $\frac{5}{\sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x} = 0$

Этап 4.1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.1.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.1.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{2}$

Этап 4.1.4.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{2}$

Этап 4.1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 4.1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(4, 7)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(4, 7)$ , поскольку производная является непрерывной на $(4, 7)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[4, 7]$ , дифференцируемое в области $(4, 7)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[4, 7]$ , дифференцируемое в области $(4, 7)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[4, 7]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 10 \sqrt{4} + 6$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$f (4) = 10 \sqrt{4} + 6$

Этап 7.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (4) = 10 \sqrt{2^{2}} + 6$

Этап 7.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4) = 10 \cdot 2 + 6$

Этап 7.2.2.3

Умножим $10$ на $2$ .

$f (4) = 20 + 6$

Этап 7.2.3

Добавим $20$ и $6$ .

$f (4) = 26$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $26$ .

$26$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[4, 7]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = 10 \sqrt{7} + 6$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Избавимся от скобок.

$f (7) = 10 \sqrt{7} + 6$

Этап 8.2.2

Окончательный ответ: $10 \sqrt{7} + 6$ .

$10 \sqrt{7} + 6$

Этап 9

Решим $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (7) + f (4))}{- (7 + 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $26$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} + 6 - 26}{(7) - (4)}$

Этап 9.1.2

Вычтем $26$ из $6$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{(7) - (4)}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{7 - 4}$

Этап 9.1.4

Вычтем $4$ из $7$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3}$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{1}{2}}, 3$

Этап 9.2.2

Так как $x^{\frac{1}{2}}, 3$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 3$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{1}{2}}$ .

Этап 9.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 9.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 9.2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 9.2.6

НОК $1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 9.2.7

НОК $x^{\frac{1}{2}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.2.8

НОК $x^{\frac{1}{2}}, 3$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3}$ умножим на $3 x^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3}$ на $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.2

Умножим $3 \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$15 = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 (x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$15 = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$15 = (10 \sqrt{7} - 20) x^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 = 10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}} = 15$ .

$10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}} = 15$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $10 x^{\frac{1}{2}}$ из $10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $10 x^{\frac{1}{2}}$ из $10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7}) - 20 x^{\frac{1}{2}} = 15$

Этап 9.4.2.2

Вынесем множитель $10 x^{\frac{1}{2}}$ из $- 20 x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7}) + 10 x^{\frac{1}{2}} (- 2) = 15$

Этап 9.4.2.3

Вынесем множитель $10 x^{\frac{1}{2}}$ из $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7}) + 10 x^{\frac{1}{2}} (- 2)$ .

$10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2) = 15$

Этап 9.4.3

Разделим каждый член $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2) = 15$ на $10 \sqrt{7} - 20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Разделим каждый член $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2) = 15$ на $10 \sqrt{7} - 20$ .

$\frac{10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)}{10 \sqrt{7} - 20} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 \sqrt{7} - 20} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10 \sqrt{7}$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 (\sqrt{7}) - 20} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2.2.2

Вынесем множитель $10$ из $- 20$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 \sqrt{7} + 10 \cdot - 2} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2.2.3

Вынесем множитель $10$ из $10 \sqrt{7} + 10 \cdot - 2$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 (\sqrt{7} - 2)} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 (\sqrt{7} - 2)} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7} - 2} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7} - 2} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.3.1

Сократим общий множитель $15$ и $10 \sqrt{7} - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (3)}{10 \sqrt{7} - 20}$

Этап 9.4.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10 \sqrt{7}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (3)}{5 (2 \sqrt{7}) - 20}$

Этап 9.4.3.3.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 \cdot 3}{5 (2 \sqrt{7}) + 5 \cdot - 4}$

Этап 9.4.3.3.1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 \sqrt{7}) + 5 (- 4)$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (3)}{5 (2 \sqrt{7} - 4)}$

Этап 9.4.3.3.1.2.4

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 \cdot 3}{5 (2 \sqrt{7} - 4)}$

Этап 9.4.3.3.1.2.5

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{7} - 4}$

Этап 9.4.3.3.2

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{7} - 4}$ на $\frac{2 \sqrt{7} + 4}{2 \sqrt{7} + 4}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{7} - 4} \cdot \frac{2 \sqrt{7} + 4}{2 \sqrt{7} + 4}$

Этап 9.4.3.3.3

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{7} - 4}$ на $\frac{2 \sqrt{7} + 4}{2 \sqrt{7} + 4}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{(2 \sqrt{7} - 4) (2 \sqrt{7} + 4)}$

Этап 9.4.3.3.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{4 {\sqrt{7}}^{2} + 8 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} - 16}$

Этап 9.4.3.3.5

Упростим.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{12}$

Этап 9.4.3.3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{3 \cdot 4}$

Этап 9.4.3.3.6.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{3 \cdot 4}$

Этап 9.4.3.3.6.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sqrt{7} + 4}{4}$

Этап 9.4.3.3.7

Сократим общий множитель $2 \sqrt{7} + 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{7}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7}) + 4}{4}$

Этап 9.4.3.3.7.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Этап 9.4.3.3.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Этап 9.4.3.3.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.3.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} + 2)}{2 (2)}$

Этап 9.4.3.3.7.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} + 2)}{2 \cdot 2}$

Этап 9.4.3.3.7.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{7} + 2}{2}$

Этап 9.4.4

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Этап 9.4.5

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Этап 9.4.5.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Этап 9.4.5.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Этап 9.4.5.1.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Этап 9.4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1

Упростим ${(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{7} + 2}{2}$ .

$x = \frac{{(\sqrt{7} + 2)}^{2}}{2^{2}}$

Этап 9.4.5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{{(\sqrt{7} + 2)}^{2}}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3

Упростим ${(\sqrt{7} + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1.3.1

Перепишем ${(\sqrt{7} + 2)}^{2}$ в виде $(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} + 2)$ .

$x = \frac{(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.2

Развернем $(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} + 2) + 2 (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1.3.3.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3.1.2

Умножим $7$ на $7$ .

$x = \frac{\sqrt{49} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3.1.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{7 + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3.1.5

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{7}$ .

$x = \frac{7 + 2 \cdot \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{7 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3.2

Добавим $7$ и $4$ .

$x = \frac{11 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7}}{4}$

Этап 9.4.5.2.1.3.3.3

Добавим $2 \sqrt{7}$ и $2 \sqrt{7}$ .

$x = \frac{11 + 4 \sqrt{7}}{4}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 4$ и $b = 7$ , находится в точке $x = \frac{11 + 4 \sqrt{7}}{4}$ .

Касательная в точке $x = \frac{11 + 4 \sqrt{7}}{4}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 4$ и $b = 7$ .

Этап 11