Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - x$ , $[0, 4]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 3.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, 4)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, 4)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, 4)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, 4]$ , дифференцируемое в области $(0, 4)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ , дифференцируемое в области $(0, 4)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} - (0)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - (0)$

Этап 7.2.2

Вычтем $0$ из $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[0, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = {(4)}^{3} - (4)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = 64 - (4)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (4) = 64 - 4$

Этап 8.2.2

Вычтем $4$ из $64$ .

$f (4) = 60$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $60$ .

$60$

Этап 9

Решим $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(60) - (0)}{(4) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60 + 0}{4 - (0)}$

Этап 9.1.1.2

Добавим $60$ и $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 - (0)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 + 0}$

Этап 9.1.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4}$

Этап 9.1.3

Разделим $60$ на $4$ .

$3 x^{2} - 1 = 15$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 15 + 1$

Этап 9.2.2

Добавим $15$ и $1$ .

$3 x^{2} = 16$

Этап 9.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 16$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 16$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{3}$

Этап 9.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Этап 9.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{16}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.3

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 9.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 9.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 9.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 9.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 4$ , находится в точке $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Касательная в точке $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 4$ .

Этап 11

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 4$ , находится в точке $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Касательная в точке $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 4$ .

Этап 12