Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 8]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[- 1, 8]$ , найдем область определения $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 2.1.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 8]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Этап 3.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Этап 3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Этап 3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.1.7.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(- 1, 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(- 1, 8)$ , найдем область определения $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 4.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 4.1.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 4.1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 4.1.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 4.1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 4.1.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 4.1.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 4.1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 4.2

$f' (x)$ не непрерывное выражение в области $(- 1, 8)$ , так как $0$ не входит в область определения $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

Функция не является непрерывной.

Этап 5

Функция не является дифференцируемой на $(- 1, 8)$ , поскольку производная $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ не является непрерывной на $(- 1, 8)$ .

Функция не является дифференцируемой.

Этап 6