Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + x - 1$ , $(0, 2)$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = x^{3} + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $3 x^{2} + 1$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 1$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, 2)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, 2)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, 2)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Этап 7.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Этап 7.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Этап 7.2.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = - 1$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Этап 8.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8 + 2 - 1$

Этап 8.2.3

Добавим $8$ и $2$ .

$f (2) = 10 - 1$

Этап 8.2.4

Вычтем $1$ из $10$ .

$f (2) = 9$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $9$ .

$9$

Этап 9

Решим $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(9) - (- 1)}{(2) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{9 + 1}{2 - (0)}$

Этап 9.1.1.2

Добавим $9$ и $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 - (0)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 + 0}$

Этап 9.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2}$

Этап 9.1.3

Разделим $10$ на $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 5$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = 5 - 1$

Этап 9.2.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$3 x^{2} = 4$

Этап 9.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Этап 9.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 9.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 9.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 9.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 9.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 9.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ , находится в точке $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Касательная в точке $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ .

Этап 11

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ , находится в точке $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Касательная в точке $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ .

Этап 12