Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 8]$ , найдем область определения $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 2.1.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 8]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Этап 3.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Этап 3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Этап 3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.1.7.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(1, 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(1, 8)$ , найдем область определения $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 4.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 4.1.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 4.1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 4.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 4.1.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 4.1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 4.1.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 4.1.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 4.1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(1, 8)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(1, 8)$ , поскольку производная является непрерывной на $(1, 8)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[1, 8]$ , дифференцируемое в области $(1, 8)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 8]$ , дифференцируемое в области $(1, 8)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[1, 8]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[1, 8]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (8) = 2^{2}$

Этап 8.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (8) = 4$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 9

Решим $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

Этап 9.1.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

Этап 9.1.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

Этап 9.2.2

Так как $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $3, 7$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{1}{3}}$ .

Этап 9.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 9.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 9.2.5

Поскольку $7$ не имеет множителей, кроме $1$ и $7$ .

$7$ — простое число

Этап 9.2.6

НОК $3, 7$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 \cdot 7$

Этап 9.2.7

Умножим $3$ на $7$ .

$21$

Этап 9.2.8

НОК $x^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 9.2.9

НОК $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ представляет собой произведение числовой части $21$ и переменной части.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ умножим на $21 x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ на $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2.3

Объединим $7$ и $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2.4

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2.5

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $7$ из $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Этап 9.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9.3.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

Этап 9.4.2

Разделим каждый член $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Разделим каждый член $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ на $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Этап 9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Этап 9.4.2.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

Этап 9.4.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Этап 9.4.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Этап 9.4.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Этап 9.4.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Этап 9.4.4.1.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Этап 9.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.2.1

Упростим ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{14}{9}$ .

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

Этап 9.4.4.2.1.2

Возведем $14$ в степень $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

Этап 9.4.4.2.1.3

Возведем $9$ в степень $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 8$ , находится в точке $x = \frac{2744}{729}$ .

Касательная в точке $x = \frac{2744}{729}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 8$ .

Этап 11