Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{3 - x}$ , $[- 6, 3]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = \sqrt{3 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[- 6, 3]$ , найдем область определения $f (x) = \sqrt{3 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 - x \geq 0$

Этап 2.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 3$

Этап 2.1.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x \leq 3$

Этап 2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 3}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 6, 3]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - x}$ в виде ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 - x$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.7.3

Перенесем ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Этап 3.1.8

По правилу суммы производная $3 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.1.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.1.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.13.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Этап 3.1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.1.13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(- 6, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(- 6, 3)$ , найдем область определения $f' (x) = - \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(3 - x)}^{1}}}$

Этап 4.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{1}{2 \sqrt{3 - x}}$

Этап 4.1.2

$3 - x \geq 0$

Этап 4.1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 3$

Этап 4.1.3.2

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.1.3.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x \leq 3$

Этап 4.1.4

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{3 - x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{3 - x} = 0$

Этап 4.1.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - x}$ в виде ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1

Упростим ${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.4

Упростим.

$4 (3 - x) = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1.6.1

Умножим $4$ на $3$ .

$12 + 4 (- x) = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$12 - 4 x = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 - 4 x = 0$

Этап 4.1.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 12$

Этап 4.1.5.3.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 12$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 12$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Этап 4.1.5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Этап 4.1.5.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 4}$

Этап 4.1.5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.3.1

Разделим $- 12$ на $- 4$ .

$x = 3$

Этап 4.1.6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 3)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 3)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 3}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(- 6, 3)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(- 6, 3)$ , поскольку производная является непрерывной на $(- 6, 3)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[- 6, 3]$ , дифференцируемое в области $(- 6, 3)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 6, 3]$ , дифференцируемое в области $(- 6, 3)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[- 6, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{3 - (- 6)}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{3 + 6}$

Этап 7.2.2

Добавим $3$ и $6$ .

$f (- 6) = \sqrt{9}$

Этап 7.2.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 6) = \sqrt{3^{2}}$

Этап 7.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 6) = 3$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[- 6, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \sqrt{3 - (3)}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (3) = \sqrt{3 - 3}$

Этап 8.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (3) = \sqrt{0}$

Этап 8.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 8.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (3) = 0$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 9

Решим $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (3) + f (- 6))}{- (3 - 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 - 3}{(3) - (- 6)}$

Этап 9.1.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3}{(3) - (- 6)}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3}{3 + 6}$

Этап 9.1.4

Добавим $3$ и $6$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3}{9}$

Этап 9.1.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 (- 1)}{9}$

Этап 9.1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Этап 9.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Этап 9.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{3}$

Этап 9.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{3}$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}, 3$

Этап 9.2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 9.2.3

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 9.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 9.2.5

НОК $2, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 3$

Этап 9.2.6

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 9.2.7

Множителем $3 - x$ является само значение $3 - x$ .

$(3 - x) = 3 - x$

$(3 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 9.2.8

НОК ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.2.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.3

Каждый член в $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{3}$ умножим на $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{3}$ на $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.1.2

Вынесем множитель $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ из $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3)) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3) = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 3 = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 = - \frac{1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$- 3 = \frac{- 1}{3} (6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 = \frac{- 1}{3} (3 (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 9.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- 3 = \frac{- 1}{3} (3 (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 9.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 3 = - (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 = - 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$ .

$- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$

Этап 9.4.2

Разделим каждый член $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Разделим каждый член $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 9.4.2.2.2

Разделим ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 9.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$

Этап 9.4.3

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 9.4.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1

Упростим ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 9.4.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 9.4.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 - x)}^{1} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 9.4.4.1.1.2

Упростим.

$3 - x = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 9.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.2.1

Упростим ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$3 - x = \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Этап 9.4.4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$3 - x = \frac{9}{2^{2}}$

Этап 9.4.4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 - x = \frac{9}{4}$

Этап 9.4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = \frac{9}{4} - 3$

Этап 9.4.5.1.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{9}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 9.4.5.1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Этап 9.4.5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x = \frac{9 - 3 \cdot 4}{4}$

Этап 9.4.5.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1.5.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- x = \frac{9 - 12}{4}$

Этап 9.4.5.1.5.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$- x = \frac{- 3}{4}$

Этап 9.4.5.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x = - \frac{3}{4}$

Этап 9.4.5.2

Разделим каждый член $- x = - \frac{3}{4}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1

Разделим каждый член $- x = - \frac{3}{4}$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Этап 9.4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Этап 9.4.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Этап 9.4.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Этап 9.4.5.2.3.2

Разделим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 6$ и $b = 3$ , находится в точке $x = \frac{3}{4}$ .

Касательная в точке $x = \frac{3}{4}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 6$ и $b = 3$ .

Этап 11