Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Этап 3.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Этап 3.1.2.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, 2)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, 2)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, 2)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Этап 7.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Этап 8.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Этап 9

Решим $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $e^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ на $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Этап 9.1.1.2

Объединим.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $e^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем $e^{4} \cdot (1)$ в виде ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.4.1

Умножим $e^{2}$ на $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.3

Перепишем $e^{2} \cdot 1$ в виде ${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.4.5.1

Умножим $e$ на $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.5.2

Умножим $e$ на $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $e^{4}$ из $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Этап 9.1.5.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Этап 9.1.5.3

Добавим $2$ и $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Этап 9.1.6

Перенесем $2$ влево от $e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Этап 9.2

Разделим каждый член $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 9.2.3.2

Объединим.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Этап 9.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Умножим $1 + e^{2}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Этап 9.2.3.3.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Этап 9.2.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Этап 9.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Этап 9.4

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ не определено.

Неопределенные

Этап 9.5

Нет решения для $e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Нет решения

Этап 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

Этап 11