Математический анализ Примеры

f (x) = e^{- 2 x}

$f (x) = e^{- 2 x}$ ,

[0, 2]

$[0, 2]$

Этап 1

Если функция

f

$f$ непрерывна на интервале

[a, b]

$[a, b]$ и дифференцируема на

(a, b)

$(a, b)$ , тогда на интервале

(a, b)

$(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число

c

$c$ , такое что

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при

x = c

$x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки

(a, f (a))

$(a, f (a))$ и

(b, f (b))

$(b, f (b))$ .

Если выражение

f (x)

$f (x)$ непрерывно на

[a, b]

$[a, b]$

и если выражение

f (x)

$f (x)$ дифференцируемо на

(a, b)

$(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка

c

$c$ на

[a, b]

$[a, b]$ :

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность

f (x) = e^{- 2 x}

$f (x) = e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области

$[0, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = e^{x}$ и

$g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

$a^{u} \ln (a)$ , где

$a$ =

$e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.1.1.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку

$- 2$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 2 x$ по

$x$ равна

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Этап 3.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Этап 3.1.2.3.2

Перенесем

$- 2$ влево от

$e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Этап 3.2

Первая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на

$(0, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области

$(0, 2)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на

$(0, 2)$ , поскольку производная является непрерывной на

$(0, 2)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области

$[0, 2]$ , дифференцируемое в области

$(0, 2)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области

$[0, 2]$ , дифференцируемое в области

$(0, 2)$ .

Этап 7

Найдем значение

$f (a)$ из интервала

$[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим

$- 2$ на

$0$ .

$f (0) = e^{0}$

Этап 7.2.2

Любое число в степени

$0$ равно

$1$ .

$f (0) = 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ:

$1$ .

$1$

Этап 8

Найдем значение

$f (b)$ из интервала

$[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим

$- 2$ на

$2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Этап 8.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ:

$\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Этап 9

Решим

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно

$x$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим

$\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на

$e^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим

$\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ на

$\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Этап 9.1.1.2

Объединим.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель

$e^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем

$e^{4} \cdot (1)$ в виде

${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = 1$ и

$b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.4.1

Умножим

$e^{2}$ на

$1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.2

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.3

Перепишем

$e^{2} \cdot 1$ в виде

${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.4

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = 1$ и

$b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.4.5.1

Умножим

$e$ на

$1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.4.4.5.2

Умножим

$e$ на

$1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Этап 9.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель

$e^{4}$ из

$e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Этап 9.1.5.2

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Этап 9.1.5.3

Добавим

$2$ и

$0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Этап 9.1.6

Перенесем

$2$ влево от

$e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Этап 9.2

Разделим каждый член

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ на

$- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ на

$- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель

$- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим

$e^{- 2 x}$ на

$1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 9.2.3.2

Объединим.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Этап 9.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Умножим

$1 + e^{2}$ на

$1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Этап 9.2.3.3.2

Умножим

$- 2$ на

$2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Этап 9.2.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Этап 9.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Этап 9.4

Уравнение невозможно решить, так как выражение

$\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ не определено.

Неопределенные

Этап 9.5

Нет решения для

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Нет решения

Этап 10

There are no solution, so there is no

$x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points

$a = 0$ and

$b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points

$a = 0$ and

$b = 2$

Этап 11