Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ , $[- 8, 8]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[- 8, 8]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 64}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2.2

$f (x)$ не непрерывное выражение в области $[- 8, 8]$ , так как $0$ не входит в область определения $f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ .

Функция не является непрерывной.

Этап 3