Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[- 2, 2]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 6 = 0$

Этап 2.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 6$

Этап 2.1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Этап 2.1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Этап 2.1.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (6)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Этап 2.1.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Этап 2.1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{6}$

Этап 2.1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 2.1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Этап 2.1.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.2.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.1.6.3.2.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(- 2, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(- 2, 2)$ , найдем область определения $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Приравняем $x^{2} + 6$ к $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Этап 4.1.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 6$

Этап 4.1.2.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Этап 4.1.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Этап 4.1.2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (6)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Этап 4.1.2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Этап 4.1.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.1.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 4.1.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Этап 4.1.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(- 2, 2)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(- 2, 2)$ , поскольку производная является непрерывной на $(- 2, 2)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ , дифференцируемое в области $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ , дифференцируемое в области $(- 2, 2)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[- 2, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $4$ и $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Этап 8

Решим $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Этап 8.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Этап 8.1.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

Этап 8.1.4

Разделим $0$ на $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

Этап 8.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

Этап 8.1.6

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

Этап 8.1.7

Разделим $0$ на $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ умножим на ${(x^{2} + 6)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ на ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $0$ на ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

Этап 8.4

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 8.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Этап 8.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x = 0$

Этап 9

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 2$ , находится в точке $x = 0$ .

Касательная в точке $x = 0$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 2$ .

Этап 10