Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 7]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x + 2 d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + 2 x]_{0}^{7})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $7$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{7})$

Этап 11.2

Найдем значение $2 x$ в $7$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} + 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.5

Добавим $\frac{49}{2}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.6

Объединим $2$ и $\frac{49}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.7

Умножим $2$ на $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{98}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.8

Сократим общий множитель $98$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{49}{1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.8.2.4

Разделим $49$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.9

Умножим $2$ на $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.10

Умножим $- 2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 + 0)$

Этап 11.3.11

Добавим $14$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14)$

Этап 11.3.12

Добавим $49$ и $14$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (63)$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 0} \cdot 63$

Этап 12.2

Добавим $7$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 63$

Этап 13

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $7$ из $63$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (9))$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 9)$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 9$

Этап 14