Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = 9 x^{3} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $9 x^{3} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{3}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$27 x^{2} + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $27 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 27 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $27 x^{2}$ .

$27 x^{2}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 3, 3]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $27$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

Этап 8.2.2.4

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

Этап 8.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

Этап 8.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

Этап 8.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

Этап 8.2.2.4.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Этап 8.2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Этап 8.2.2.6

Добавим $9$ и $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

Этап 8.2.2.7

Умножим $27$ на $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

Этап 9

Добавим $3$ и $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

Этап 10

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $6$ из $486$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 81$

Этап 11