Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x + 4$ , $[2, 5]$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = 5 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $5$ и $0$ .

$f' (x) = 5$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5$ .

$5$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[2, 5]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} 5 d x)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (5 x]_{2}^{5})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $5 x$ в $5$ и в $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((5 \cdot 5) - 5 \cdot 2)$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (25 - 5 \cdot 2)$

Этап 7.2.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (25 - 10)$

Этап 7.2.3

Вычтем $10$ из $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (15)$

Этап 8

Вычтем $2$ из $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 15$

Этап 9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (5))$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 5)$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 5$

Этап 10