Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 3]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 3.1.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f' (x) = 4$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4$ .

$4$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(1, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(1, 3)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(1, 3)$ , поскольку производная является непрерывной на $(1, 3)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[1, 3]$ , дифференцируемое в области $(1, 3)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 3]$ , дифференцируемое в области $(1, 3)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[1, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 4 (1) - 2$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = 4 - 2$

Этап 7.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (1) = 2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[1, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 4 (3) - 2$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (3) = 12 - 2$

Этап 8.2.2

Вычтем $2$ из $12$ .

$f (3) = 10$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 9

Решим $4 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $4 = \frac{- (f (3) + f (1))}{- (3 + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(10) - (2)}{(3) - (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 = \frac{10 - 2}{3 - (1)}$

Этап 9.1.1.2

Вычтем $2$ из $10$ .

$4 = \frac{8}{3 - (1)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 = \frac{8}{3 - 1}$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$4 = \frac{8}{2}$

Этап 9.1.3

Разделим $8$ на $2$ .

$4 = 4$

Этап 9.2

Поскольку $4 = 4$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 10

График представляет собой прямую. В каждой точке $x$ кривой есть касательная, параллельная прямой, проходящей через конечные точки $a = 1$ и $b = 3$ .

При каждом значении x на кривой существует касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 3$ .

Этап 11