Математический анализ Примеры

$y = 8 \sqrt{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 8 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.9

Объединим $8$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$