Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} + 5) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 15 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} + 15 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $15 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 15) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.4.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} + 15) (2 x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.6.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} + 15) x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.8.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.8.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $- 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.8.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 1.2.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.9.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.9.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.10

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.12

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.13.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{2} (x^{2} + 15) x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 (x \cdot x^{2}) (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{1 + 2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.16

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.1.2

Умножим $2$ на $15$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.2

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.3

Развернем $(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3} + 30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.4.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{2} x + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.4.1.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.4.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{1 + 2} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.5

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.1.6

Умножим $30$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.4.2

Добавим $30 x^{3}$ и $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.5

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 (x^{2} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{2 + 3} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.5.3

Добавим $2$ и $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.1.6

Умножим $15$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.4.2.1

Вычтем $4 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x + 0 - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.2.2

Добавим $50 x^{3} + 150 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4.3

Вычтем $60 x^{3}$ из $50 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{3} + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.5

Вынесем множитель $10 x$ из $- 10 x^{3} + 150 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.5.1

Вынесем множитель $10 x$ из $- 10 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.5.2

Вынесем множитель $10 x$ из $150 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 10 x (15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.5.3

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x (- x^{2}) + 10 x (15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.7

Перепишем $15$ в виде $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.9

Перепишем $- (x^{2} - 15)$ в виде $- 1 (x^{2} - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 1 (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2.17.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$10 x (x^{2} - 15) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 15 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x^{2} - 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x^{2} - 15$ к $0$ .

$x^{2} - 15 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $x^{2} - 15 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 15$

Этап 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

Этап 2.3.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{15}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{15}$

Этап 2.3.3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $10 x (x^{2} - 15) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{{(0)}^{2} + 5}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 5}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 5}$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f (0) = \frac{0}{5}$

Этап 3.1.2.3

Разделим $0$ на $5$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $\sqrt{15}$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{15}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{{(\sqrt{15})}^{3}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{15}}^{3}$ в виде $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{3}}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $15$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{3375}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $3375$ в виде $15^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $225$ из $3375$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{225 (15)}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Этап 3.3.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Этап 3.3.2.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $15$ и $5$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{20}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $15$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $15 \sqrt{15}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{20}$

Этап 3.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Этап 3.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Этап 3.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{15}) = \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Этап 3.4

Подставляя $\sqrt{15}$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ , найдем точку $(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Этап 3.5

Подставим $- \sqrt{15}$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- \sqrt{15})}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{15}}^{3}$ в виде $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{3}}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.1.4

Возведем $15$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{3375}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.1.5

Перепишем $3375$ в виде $15^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.5.1

Вынесем множитель $225$ из $3375$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{225 (15)}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.1.5.2

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 1 \cdot (15 \sqrt{15})}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.1.7

Умножим $- 1$ на $15$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.2.3

Умножим ${\sqrt{15}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Этап 3.5.2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Этап 3.5.2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Этап 3.5.2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Этап 3.5.2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Этап 3.5.2.2.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Этап 3.5.2.2.5

Добавим $15$ и $5$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{20}$

Этап 3.5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 15$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15 \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{20}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 3 \sqrt{15}}{4}$

Этап 3.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \sqrt{15}) = - \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Этап 3.5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Этап 3.6

Подставляя $- \sqrt{15}$ в $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ , найдем точку $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{15}) \cup (- \sqrt{15}, 0) \cup (0, \sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{15})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.97298334$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{(10 (- 3.97298334)) ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $10$ на $- 3.97298334$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 39.72983346 ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 39.72983346$ на ${(- 3.97298334)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 3.97298334$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $15.78459666$ и $5$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $20.78459666$ в степень $3$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{8978.93451047}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $- 31.171895$ на $8978.93451047$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 0.00347166$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $0.00347166$ .

$0.00347166$

Этап 5.3

При $- 3.97298334$ вторая производная имеет вид $0.00347166$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \sqrt{15})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \sqrt{15})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{15}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.93649167$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{(10 (- 1.93649167)) ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $10$ на $- 1.93649167$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{- 19.36491673 ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 19.36491673$ на ${(- 1.93649167)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 1.93649167$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $3.75$ и $5$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $8.75$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{669.921875}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $217.85531322$ на $669.921875$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 1 \cdot 0.3251951$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.3251951$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 0.3251951$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.3251951$ .

$- 0.3251951$

Этап 6.3

При $- 1.93649167$ вторая производная имеет вид $- 0.3251951$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \sqrt{15}, 0)$ .

Убывание на $(- \sqrt{15}, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \sqrt{15})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.93649167$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{(10 (1.93649167)) ({(1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $10$ на $1.93649167$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{19.36491673 ({1.93649167}^{2} - 15)}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $19.36491673$ на ${1.93649167}^{2} - 15$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $1.93649167$ в степень $2$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $3.75$ и $5$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $8.75$ в степень $3$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{669.921875}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $- 217.85531322$ на $669.921875$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 0.3251951$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $0.3251951$ .

$0.3251951$

Этап 7.3

При $1.93649167$ вторая производная имеет вид $0.3251951$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \sqrt{15})$ .

Возрастание в области $(0, \sqrt{15})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\sqrt{15}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.97298334$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{(10 (3.97298334)) ({(3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $10$ на $3.97298334$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{39.72983346 ({3.97298334}^{2} - 15)}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $39.72983346$ на ${3.97298334}^{2} - 15$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $3.97298334$ в степень $2$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $15.78459666$ и $5$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $20.78459666$ в степень $3$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{8978.93451047}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $31.171895$ на $8978.93451047$ .

$f'' (3.97298334) = - 1 \cdot 0.00347166$

Этап 8.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.00347166$ .

$f'' (3.97298334) = - 0.00347166$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00347166$ .

$- 0.00347166$

Этап 8.3

При $3.97298334$ вторая производная имеет вид $- 0.00347166$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\sqrt{15}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{15}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ .

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Этап 10