Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 1$ и $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.8.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.4.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.6

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 1.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.2

Развернем $(- 2 x - 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.3.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.2.3

Добавим $0$ и $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Этап 1.2.9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.2.9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.2.9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба