Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 7) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{14 x + 0}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2.2

Добавим $14 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}})$

Этап 1.2.2

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}})$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 7)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Этап 1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.9

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Этап 1.2.16

Объединим $14$ и $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $14$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.2.2

Умножим $14$ на $7$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.3

Вынесем множитель $14$ из $- 42 x^{2} + 98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.3.1

Вынесем множитель $14$ из $- 42 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.3.2

Вынесем множитель $14$ из $98$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.3.3

Вынесем множитель $14$ из $14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.5

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 7)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$14 (3 x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ на $14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ на $14$ .

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 7$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{14}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $14$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 7$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Этап 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Этап 2.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.3.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.3.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Этап 2.3.5.4.2

Умножим $7$ на $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 2.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 2.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 2.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4

Сократим общий множитель $21$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 (7)}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.2.2

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

Этап 3.1.2.2.4

Сократим общий множитель $21$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Этап 3.1.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.1.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.1.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

Этап 3.1.2.2.5

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.1.2.2.6

Объединим $7$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.2.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.8.1

Умножим $7$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

Этап 3.1.2.2.8.2

Добавим $7$ и $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

Этап 3.1.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

Этап 3.1.2.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Вынесем множитель $7$ из $28$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

Этап 3.1.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

Этап 3.1.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 3.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 3.1.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

Этап 3.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ , найдем точку $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Этап 3.3

Подставим $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель $21$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (7)}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{7}{3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.7

Умножим $\frac{7}{3}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Этап 3.3.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Этап 3.3.2.2.3

Умножим $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.2.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

Этап 3.3.2.2.6

Сократим общий множитель $21$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Этап 3.3.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.3.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.3.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

Этап 3.3.2.2.7

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.3.2.2.8

Объединим $7$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.3.2.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.3.2.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.10.1

Умножим $7$ на $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

Этап 3.3.2.2.10.2

Добавим $7$ и $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

Этап 3.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

Этап 3.3.2.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Вынесем множитель $7$ из $28$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

Этап 3.3.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

Этап 3.3.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 3.3.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 3.3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 3.4

Подставляя $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ , найдем точку $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.62752523$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Вычтем $7$ из $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $2.64883837$ и $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $9.64883837$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $14$ на $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $13.25121194$ на $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0.0147513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 0.0147513$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

Этап 5.3

При $- 1.62752523$ вторая производная имеет вид $- 0.0147513$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $7$ из $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $7$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{7^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{343}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $14$ на $- 7$ .

$f'' (0) = - \frac{- 98}{343}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель $- 98$ и $343$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $49$ из $- 98$ .

$f'' (0) = - \frac{49 (- 2)}{343}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $49$ из $343$ .

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

Этап 6.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

Этап 6.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = - \frac{- 2}{7}$

Этап 6.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = \frac{2}{7}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7}$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $0.\overline{285714}$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.62752523$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.1.3

Вычтем $7$ из $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $2.64883837$ и $7$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $9.64883837$ в степень $3$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $14$ на $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $13.25121194$ на $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0.0147513$ .

$f'' (1.62752523) = - 0.0147513$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

Этап 7.3

При $1.62752523$ вторая производная имеет вид $- 0.0147513$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Этап 9