Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем $2$ влево от ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4.5.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.8.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.2.2

Добавим $- 4 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.3

Добавим $- 4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.4

Сократим общий множитель $- x + 1$ и ${(x - 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.4.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.4.4

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.4.5

Вынесем множитель $x - 1$ из $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.5.4.6.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.5.4.6.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.5.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.3.3

Умножим ${(x - 1)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.5.2

Вынесем множитель ${(x - 1)}^{2}$ из ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вынесем множитель ${(x - 1)}^{2}$ из ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.5.2.2

Вынесем множитель ${(x - 1)}^{2}$ из $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.5.2.3

Вынесем множитель ${(x - 1)}^{2}$ из ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Этап 1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель ${(x - 1)}^{2}$ из ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.10.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.10.4

Объединим $- 2$ и $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.7

Перепишем $- (2 x + 1)$ в виде $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.11.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Этап 1.2.11.10

Умножим $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (2 x + 1) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 (2 x + 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (2 x + 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $2 x + 1$ на $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.4.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.6

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Этап 3.1.2.2.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Этап 3.1.2.2.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Этап 3.1.2.2.11

Умножим $\frac{9}{4}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Этап 3.1.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 3.1.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Этап 3.2

Подставляя $- \frac{1}{2}$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ , найдем точку $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{1}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $2$ на $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Этап 5.2.1.2

Добавим $- 1.2$ и $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Этап 5.2.2.2

Возведем $- 1.6$ в степень $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $- 0.4$ на $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Этап 5.3

При $- 0.6$ вторая производная имеет вид $- 0.06103515$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{1}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2$ на $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Этап 6.2.1.2

Добавим $- 0.8$ и $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Этап 6.2.2.2

Возведем $- 1.4$ в степень $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $2$ на $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $0.4$ на $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.10412328$ .

$0.10412328$

Этап 6.3

При $- 0.4$ вторая производная имеет вид $0.10412328$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Этап 8