Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

Этап 1.1.2

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ и $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Этап 1.1.5.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Этап 1.1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Этап 1.1.5.4.2

Умножим $x^{2} - 10 x + 25$ на $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Этап 1.1.5.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 10 x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Этап 1.1.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Этап 1.1.5.7

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Этап 1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Этап 1.1.5.9

Умножим $- 10$ на $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

Этап 1.1.5.10

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

Этап 1.1.5.11

Добавим $2 x - 10$ и $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Этап 1.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Этап 1.1.6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Этап 1.1.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Этап 1.1.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Этап 1.1.6.4.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Этап 1.1.6.4.6

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

Этап 1.1.6.4.7

Умножим $- 2$ на $- 10$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

Этап 1.1.6.4.8

Вычтем $10 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

Этап 1.1.6.4.9

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

Этап 1.1.6.4.10

Вычтем $14 x$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

Этап 1.1.6.4.11

Добавим $25$ и $20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 24 x + 45$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x - 24 + 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $6 x - 24$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Этап 2.2

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 24$

Этап 2.3

Разделим каждый член $6 x = 24$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $6 x = 24$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $24$ на $6$ .

$x = 4$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4$ в $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычтем $5$ из $4$ .

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

Этап 3.1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

Этап 3.1.2.3

Умножим $(4) - 2$ на $1$ .

$f (4) = (4) - 2$

Этап 3.1.2.4

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (4) = 2$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 3.2

Подставляя $4$ в $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ , найдем точку $(4, 2)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, 2)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.9$ .

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $6$ на $3.9$ .

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

Этап 5.2.2

Вычтем $24$ из $23.4$ .

$f'' (3.9) = - 0.6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 0.6$ .

$- 0.6$

Этап 5.3

При $3.9$ вторая производная имеет вид $- 0.6$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 4)$ .

Убывание на $(- \infty, 4)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $6$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

Этап 6.2.2

Вычтем $24$ из $24.6$ .

$f'' (4.1) = 0.6$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.6$ .

$0.6$

Этап 6.3

При $4.1$ вторая производная имеет вид $0.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(4, \infty)$ .

Возрастание в области $(4, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Этап 8