Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- 1})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2}$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ в виде ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.4.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.4.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.2.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot 0$

Этап 1.2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ на $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + 0$

Этап 1.2.4.7.2

Добавим $2 {(x + 3)}^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 1.2.5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба