Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x^{2} - 4}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 4})$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 4}$ в виде ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 8 (- {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (x) = - 8 ({(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f' (x) = - 16 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 16 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 16}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.5.3

Объединим $x$ и $\frac{16}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.5.4

Перенесем $16$ влево от $x$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{16 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.3

Умножим ${(x^{2} - 4)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} - 4$ из ${(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - 4$ из ${(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 4$ из $- 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} - 4$ из $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} - 4$ из ${(x^{2} - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.16

Объединим $- 16$ и $\frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(16) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.2.1

Умножим $- 3$ на $16$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.2.18.2.2

Умножим $16$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 48 x^{2} - 64 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$- 48 x^{2} = 64$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- 48 x^{2} = 64$ на $- 48$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- 48 x^{2} = 64$ на $- 48$ .

$\frac{- 48 x^{2}}{- 48} = \frac{64}{- 48}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 48 x^{2}}{- 48} = \frac{64}{- 48}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{- 48}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сократим общий множитель $64$ и $- 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $64$ .

$x^{2} = \frac{16 (4)}{- 48}$

Этап 2.3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $- 48$ .

$x^{2} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot - 3}$

Этап 2.3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot - 3}$

Этап 2.3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

Этап 2.3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Этап 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- \frac{4}{3}$ в виде $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Этап 2.3.4.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Этап 2.3.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 2.3.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.6

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.3.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.7.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.3.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.3.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.4.8

Объединим $i$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 2.3.4.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба