Математический анализ Примеры

$x e^{x}$

Этап 1

Запишем $x e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 2.1.3.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x e^{x} + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.2.2

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.2.4

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.3

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.2.4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Этап 2.2.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 2$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2$ в $f (x) = x e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Этап 4.2

Подставляя $- 2$ в $f (x) = x e^{x}$ , найдем точку $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2.1.2

Объединим $- 2.1$ и $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2.1.4

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2.71828182$ в степень $2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2.1.6

Разделим $2.1$ на $8.16616991$ .

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0.25715849$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Этап 6.2.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

Этап 6.2.1.9

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 0.25715849$ и $\frac{2}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.01224564$ .

$- 0.01224564$

Этап 6.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $- 0.01224564$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Убывание на $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2.1.2

Объединим $- 1.9$ и $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2.1.4

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $2.71828182$ в степень $1.9$ .

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2.1.6

Разделим $1.9$ на $6.68589444$ .

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0.28418037$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Этап 7.2.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

Этап 7.2.1.9

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

Этап 7.2.2

Добавим $- 0.28418037$ и $\frac{2}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.01495686$ .

$0.01495686$

Этап 7.3

При $- 1.9$ вторая производная имеет вид $0.01495686$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 2, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Этап 9