Математический анализ Примеры

$1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

Этап 2.1.3.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Вычтем $\frac{1}{x^{2}}$ из $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 2.2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 2.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 2.2.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 2.2.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 2.2.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 2.2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 2.2.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Этап 2.2.3.8

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 x^{- 3} - 6 x^{- 4}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.2.4.3.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Этап 2.2.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, x^{4}, 1$

Этап 3.2.2

Так как $x^{3}, x^{4}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{3}, x^{4}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.2.6

Множители $x^{3}$ — $x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $3$ раз.

Этап 3.2.7

Множители $x^{4}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $4$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $x^{3}, x^{4}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 3.2.9

Упростим $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Этап 3.2.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Этап 3.2.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Этап 3.2.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Этап 3.2.9.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Этап 3.2.9.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1}$

Этап 3.2.9.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4}$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ умножим на $x^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ на $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{x^{4}}$ в числитель.

$2 x + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x - 6 = 0 x^{4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{4}$ .

$2 x - 6 = 0$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 6$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $2 x = 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $6$ на $2$ .

$x = 3$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3$ в $f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (3) = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (3) = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9}$

Этап 4.1.2.2.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9}$

Этап 4.1.2.2.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{3}{9} - \frac{1}{9}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{9 + 3 - 1}{9}$

Этап 4.1.2.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Добавим $9$ и $3$ .

$f (3) = \frac{12 - 1}{9}$

Этап 4.1.2.4.2

Вычтем $1$ из $12$ .

$f (3) = \frac{11}{9}$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $\frac{11}{9}$ .

$\frac{11}{9}$

Этап 4.2

Подставляя $3$ в $f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ , найдем точку $(3, \frac{11}{9})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3, \frac{11}{9})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.9$ .

$f'' (2.9) = \frac{2}{{(2.9)}^{3}} - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2.9$ в степень $3$ .

$f'' (2.9) = \frac{2}{24.389} - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $2$ на $24.389$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $2.9$ в степень $4$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - \frac{6}{70.7281}$

Этап 6.2.1.4

Разделим $6$ на $70.7281$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - 1 \cdot 0.08483191$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0.08483191$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - 0.08483191$

Этап 6.2.2

Вычтем $0.08483191$ из $0.08200418$ .

$f'' (2.9) = - 0.00282773$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.00282773$ .

$- 0.00282773$

Этап 6.3

При $2.9$ вторая производная имеет вид $- 0.00282773$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 3)$ .

Убывание на $(- \infty, 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = \frac{2}{{(3.1)}^{3}} - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3.1$ в степень $3$ .

$f'' (3.1) = \frac{2}{29.791} - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $2$ на $29.791$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $3.1$ в степень $4$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - \frac{6}{92.3521}$

Этап 7.2.1.4

Разделим $6$ на $92.3521$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - 1 \cdot 0.06496874$

Этап 7.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0.06496874$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - 0.06496874$

Этап 7.2.2

Вычтем $0.06496874$ из $0.06713436$ .

$f'' (3.1) = 0.00216562$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.00216562$ .

$0.00216562$

Этап 7.3

При $3.1$ вторая производная имеет вид $0.00216562$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(3, \frac{11}{9})$ .

$(3, \frac{11}{9})$

Этап 9