Математический анализ Примеры

$x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Этап 1

Запишем $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 4 x + 0$

Этап 2.1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 4 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{2} = 4$

Этап 3.3

Разделим каждый член $12 x^{2} = 4$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $12 x^{2} = 4$ на $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $9$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.1.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.1.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.1.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.1.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.1.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Этап 4.1.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Этап 4.1.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 1$

Этап 4.1.2.1.8

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 1$

Этап 4.1.2.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Этап 4.1.2.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Этап 4.1.2.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.9

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1$

Этап 4.1.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1}$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 4.1.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

Этап 4.1.2.2.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{9}{9}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{9}$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{9}$

Этап 4.1.2.4.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 9}{9}$

Этап 4.1.2.4.3

Добавим $- 5$ и $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , найдем точку $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Этап 4.3

Подставим $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.6

Сократим общий множитель $9$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1$

Этап 4.3.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1$

Этап 4.3.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1$

Этап 4.3.2.1.9

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 1$

Этап 4.3.2.1.12

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.12.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 1$

Этап 4.3.2.1.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Этап 4.3.2.1.12.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Этап 4.3.2.1.12.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.3.2.1.13

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1$

Этап 4.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1$

Этап 4.3.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1}$

Этап 4.3.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 4.3.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

Этап 4.3.2.2.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{9}{9}$

Этап 4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{9}$

Этап 4.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{9}$

Этап 4.3.2.4.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 9}{9}$

Этап 4.3.2.4.3

Добавим $- 5$ и $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$

Этап 4.3.2.5

Окончательный ответ: $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Этап 4.4

Подставляя $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , найдем точку $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.67735026$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.67735026$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Этап 6.2.2

Вычтем $4$ из $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1.50564064$ .

$1.50564064$

Этап 6.3

При $- 0.67735026$ вторая производная имеет вид $1.50564064$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Этап 7.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 4$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Убывание на $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.67735026$ .

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.67735026$ в степень $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Этап 8.2.1.2

Умножим $12$ на $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Этап 8.2.2

Вычтем $4$ из $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $1.50564064$ .

$1.50564064$

Этап 8.3

При $0.67735026$ вторая производная имеет вид $1.50564064$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Этап 10