Математический анализ Примеры

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.2.6

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ и $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Этап 1.2

Первая производная $h (x)$ по $x$ равна $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Этап 2.2

Упростим $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $2$ на $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.5

Умножим $8$ на $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.6

Возведем $2$ в степень $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.7

Умножим $16$ на $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.8

Возведем $2$ в степень $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.9

Умножим $32$ на $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.2.10

Возведем $2$ в степень $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Умножим $12$ на $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Этап 2.2.1.4.2

Умножим $60$ на $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Этап 2.2.1.4.3

Умножим $160$ на $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Этап 2.2.1.4.4

Умножим $240$ на $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Этап 2.2.1.4.5

Умножим $192$ на $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Этап 2.2.1.4.6

Умножим $7$ на $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $7$ из $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Этап 2.3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 3, - 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $- 4$ и $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Этап 5.2.1.3

Умножим $7$ на $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Этап 5.2.2

Вычтем $7$ из $448$ .

$h' (- 4) = 441$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $441$ .

$441$

Этап 5.3

При $x = - 4$ производная имеет вид $441$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 3)$ , так как $h' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 3, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Этап 6.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Этап 6.2.1.3

Умножим $7$ на $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Этап 6.2.2

Вычтем $7$ из $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$- 7$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- 7$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 3, - 1)$ .

Убывание на $(- 3, - 1)$ , так как $h' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $0$ и $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Этап 7.2.1.2

Возведем $2$ в степень $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Этап 7.2.1.3

Умножим $7$ на $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Этап 7.2.2

Вычтем $7$ из $448$ .

$h' (0) = 441$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $441$ .

$441$

Этап 7.3

При $x = 0$ производная имеет вид $441$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 1, \infty)$ , так как $h' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Убывание на: $(- 3, - 1)$

Этап 9