Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Этап 1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.4

Каждый член в $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - x^{2}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.5.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $1, - 1$ .

$1, - 1$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

Этап 6.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Этап 6.2.4

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $\frac{3}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Этап 7.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Этап 7.2.1.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

Этап 7.2.1.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

Этап 7.2.1.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

Этап 7.2.1.1.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Этап 7.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- (1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Этап 7.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Этап 7.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Убывание на $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

Этап 8.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

Этап 8.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Этап 8.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- (1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Этап 8.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Этап 8.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 8.3

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 1)$ .

Убывание на $(0, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 9.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Этап 9.2.2.3

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f' (2) = \frac{3}{4}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 9.3

При $x = 2$ производная имеет вид $\frac{3}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Убывание на: $(- 1, 0), (0, 1)$

Этап 11