Математический анализ Примеры

y = \frac{2 + x}{3 - x}

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Этап 1

Запишем

y = \frac{2 + x}{3 - x}

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$ в виде функции.

f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

f (x) = 2 + x

$f (x) = 2 + x$ и

g (x) = 3 - x

$g (x) = 3 - x$ .

\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная

2 + x

$2 + x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

2

$2$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Добавим

0

$0$ и

\frac{d}{d x} [x]

$\frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Умножим

3 - x

$3 - x$ на

1

$1$ .

\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

По правилу суммы производная

3 - x

$3 - x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.7

Поскольку

3

$3$ является константой относительно

x

$x$ , производная

3

$3$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.8

Добавим

0

$0$ и

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$ .

\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.9

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- x

$- x$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.10.2

Умножим

2 + x

$2 + x$ на

1

$1$ .

\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1

Умножим

2 + x

$2 + x$ на

1

$1$ .

\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.2

Добавим

3

$3$ и

2

$2$ .

\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.3

Добавим

- x

$- x$ и

x

$x$ .

\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.4.1

Добавим

0

$0$ и

5

$5$ .

\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.4.2

Изменим порядок членов.

f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная

f (x)

$f (x)$ по

x

$x$ равна

\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна

0

$0$ .

\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

5 = 0

$5 = 0$

Этап 3.3

Поскольку

5 \neq 0

$5 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений

x

$x$ , при которых производная равна

0

$0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в

\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ равным

0

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

{(- x + 3)}^{2} = 0

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- x + 3

$- x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- x

$- x$ .

{(- (x) + 3)}^{2} = 0

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем

3

$3$ в виде

- 1 (- 3)

$- 1 (- 3)$ .

{(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.1.1.3

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- (x) - 1 (- 3)

$- (x) - 1 (- 3)$ .

{(- (x - 3))}^{2} = 0

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

{(- (x - 3))}^{2} = 0

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Этап 5.2.1.2

Применим правило умножения к

- (x - 3)

$- (x - 3)$ .

{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член

{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ на

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член

{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ на

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ .

\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим

${(x - 3)}^{2}$ на

$1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Этап 5.2.2.3.2

Разделим

$0$ на

$1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.3

Приравняем

$x - 3$ к

$0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2.4

Добавим

$3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Найдя точку, в которой производная

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ равна

$0$ или не определена, проверим возрастание и убывание

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ в интервале

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала

$(- \infty, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Добавим

$- 2$ и

$3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Этап 7.2.2

Разделим

$5$ на

$1$ .

$f' (2) = 5$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ:

$5$ .

$5$

Этап 7.3

При

$x = 2$ производная имеет вид

$5$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне

$(- \infty, 3)$ .

Возрастание в области

$(- \infty, 3)$ , так как

$f' (x) > 0$

Возрастание в области

$(- \infty, 3)$ , так как

$f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала

$(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Добавим

$- 4$ и

$3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Этап 8.2.2

Разделим

$5$ на

$1$ .

$f' (4) = 5$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ:

$5$ .

$5$

Этап 8.3

При

$x = 4$ производная имеет вид

$5$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне

$(3, \infty)$ .

Возрастание в области

$(3, \infty)$ , так как

$f' (x) > 0$

Возрастание в области

$(3, \infty)$ , так как

$f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области:

$(- \infty, 3), (3, \infty)$

Этап 10