Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 + x$ и $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Умножим $3 - x$ на $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

По правилу суммы производная $3 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.10.2

Умножим $2 + x$ на $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1

Умножим $2 + x$ на $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.4.1

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$5 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $5 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Этап 5.2.1.2

Применим правило умножения к $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ на ${(- 1)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ на ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим ${(x - 3)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Этап 5.2.2.3.2

Разделим $0$ на $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ в интервале $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Этап 7.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$f' (2) = 5$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $5$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 3)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Добавим $- 4$ и $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Этап 8.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$f' (4) = 5$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 8.3

При $x = 4$ производная имеет вид $5$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Этап 10