Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{1}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{1}{x}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Этап 8.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - 1$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Этап 10