Математический анализ Примеры

$y = {(x - 4)}^{3}$

Этап 1

Запишем $y = {(x - 4)}^{3}$ в виде функции.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 2.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 {(x - 4)}^{2}$ .

$3 {(x - 4)}^{2}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим ${(x - 4)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $4$ .

$4$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ в интервале $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 6.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (3) = 3 \cdot 1$

Этап 6.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (3) = 3$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.3

При $x = 3$ производная имеет вид $3$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 4)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 4)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4$ из $5$ .

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

Этап 7.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (5) = 3 \cdot 1$

Этап 7.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (5) = 3$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 7.3

При $x = 5$ производная имеет вид $3$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(4, \infty)$ .

Возрастание в области $(4, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Этап 9