Математический анализ Примеры

$y = 2 - 2 x - x^{3}$

Этап 1

Запишем $y = 2 - 2 x - x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $2 - 2 x - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 2 - (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 2 - 3 x^{2}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2 - 3 x^{2}$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} - 2$ .

$- 3 x^{2} - 2$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x^{2} = 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = 2$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = 2$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{2}{3}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{3}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 3.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.5.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 3.5.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.5.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.5.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.5.5.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.5.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 3.5.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}, - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Нет точек, в которых производная $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ была бы равна $0$ или не определена. $f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 6

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 2$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 2$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 - 2$

Этап 6.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f' (1) = - 5$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 7

Результат подстановки $1$ в $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ равен $- 5$ и является отрицательным, поэтому график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Убывание на $(- \infty, \infty)$

Этап 8

Убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно убывает.

Всегда убывающие

Этап 9