Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 6 x + 6$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Этап 3.2.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Этап 3.2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2} - 2 x + 2$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i, 1 - i$

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Нет точек, в которых производная $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ была бы равна $0$ или не определена. $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 6

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $6$ из $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$f' (1) = 3$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 7

Результат подстановки $1$ в $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ равен $3$ и является положительным, поэтому график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \infty, \infty)$ , так как $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Этап 8

Возрастание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно возрастает.

Всегда возрастающие

Этап 9