Математический анализ Примеры

$y = 8 x^{2} - x^{4}$

Этап 1

Запишем $y = 8 x^{2} - x^{4}$ в виде функции.

$f (x) = 8 x^{2} - x^{4}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $8 x^{2} - x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $8$ .

$f' (x) = 16 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 16 x - (4 x^{3})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = 16 x - 4 x^{3}$

Этап 2.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 16 x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 16 x$ .

$- 4 x^{3} + 16 x$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 16 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 16 x = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $16 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ .

$- 4 x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 3.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 3.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = - 4 {(- 3)}^{3} + 16 (- 3)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f' (- 3) = - 4 \cdot - 27 + 16 (- 3)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 27$ .

$f' (- 3) = 108 + 16 (- 3)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $16$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 108 - 48$

Этап 6.2.2

Вычтем $48$ из $108$ .

$f' (- 3) = 60$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $60$ .

$60$

Этап 6.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $60$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 + 16 (- 1)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 - 16$

Этап 7.2.2

Вычтем $16$ из $4$ .

$f' (- 1) = - 12$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 7.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 12$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 0)$ .

Убывание на $(- 2, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 4 {(1)}^{3} + 16 (1)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 4 \cdot 1 + 16 (1)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (1) = - 4 + 16 (1)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $16$ на $1$ .

$f' (1) = - 4 + 16$

Этап 8.2.2

Добавим $- 4$ и $16$ .

$f' (1) = 12$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $12$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 2)$ .

Возрастание в области $(0, 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - 4 {(3)}^{3} + 16 (3)$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (3) = - 4 \cdot 27 + 16 (3)$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 4$ на $27$ .

$f' (3) = - 108 + 16 (3)$

Этап 9.2.1.3

Умножим $16$ на $3$ .

$f' (3) = - 108 + 48$

Этап 9.2.2

Добавим $- 108$ и $48$ .

$f' (3) = - 60$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- 60$ .

$- 60$

Этап 9.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- 60$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Убывание на: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Этап 11