Математический анализ Примеры

x^{\frac{1}{5}} (x + 6)

$x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$

Этап 1

Запишем

x^{\frac{1}{5}} (x + 6)

$x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$ в виде функции.

f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

f (x) = x^{\frac{1}{5}}

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и

g (x) = x + 6

$g (x) = x + 6$ .

x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная

$x + 6$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$x^{\frac{1}{5}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 2.1.2.3

Поскольку

$6$ является константой относительно

$x$ , производная

$6$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$x^{\frac{1}{5}} (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим

$1$ и

$0$ .

$x^{\frac{1}{5}} \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим

$x^{\frac{1}{5}}$ на

$1$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = \frac{1}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Этап 2.1.3

Чтобы записать

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 2.1.4

Объединим

$- 1$ и

$\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Этап 2.1.6.2

Вычтем

$5$ из

$1$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Этап 2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Этап 2.1.8

Объединим

$\frac{1}{5}$ и

$x^{- \frac{4}{5}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Этап 2.1.9

Перенесем

$x^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{5}} + x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.1

Объединим

$x$ и

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.2

Перенесем

$x^{\frac{4}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней

$\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.3

Умножим

$x$ на

$x^{- \frac{4}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.3.1

Умножим

$x$ на

$x^{- \frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.3.1.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.3.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{1 - \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.3.2

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{5 - 4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.3.4

Вычтем

$4$ из

$5$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.4

Объединим

$6$ и

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.5

Чтобы записать

$x^{\frac{1}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.6

Объединим

$x^{\frac{1}{5}}$ и

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.8

Перенесем

$5$ влево от

$x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.1.10.2.9

Добавим

$5 x^{\frac{1}{5}}$ и

$x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная

$\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку

$\frac{6}{5}$ является константой относительно

$x$ , производная

$\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ по

$x$ равна

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.3

Чтобы записать

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.4

Объединим

$- 1$ и

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.6.2

Вычтем

$5$ из

$1$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.8

Объединим

$\frac{1}{5}$ и

$x^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.9

Умножим

$\frac{6}{5}$ на

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{4}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.10

Умножим

$5$ на

$5$ .

$\frac{6 x^{- \frac{4}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.2.11

Перенесем

$x^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку

$\frac{6}{5}$ является константой относительно

$x$ , производная

$\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ по

$x$ равна

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2.3.2

Перепишем

$\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ в виде

${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = x^{- 1}$ и

$g (x) = x^{\frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}])$

Этап 2.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

$n u^{n - 1}$ , где

$n = - 1$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}])$

Этап 2.2.3.3.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}])$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 2.2.3.5

Перемножим экспоненты в

${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.2

Умножим

$\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.2.1

Объединим

$\frac{4}{5}$ и

$- 2$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.2.2

Умножим

$4$ на

$- 2$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 2.2.3.6

Чтобы записать

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Этап 2.2.3.7

Объединим

$- 1$ и

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 2.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 2.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.9.1

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Этап 2.2.3.9.2

Вычтем

$5$ из

$4$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}))$

Этап 2.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}))$

Этап 2.2.3.11

Объединим

$\frac{4}{5}$ и

$x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Этап 2.2.3.12

Объединим

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ и

$x^{- \frac{8}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} x^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Этап 2.2.3.13

Умножим

$x^{- \frac{1}{5}}$ на

$x^{- \frac{8}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.13.1

Перенесем

$x^{- \frac{8}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} x^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Этап 2.2.3.13.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Этап 2.2.3.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Этап 2.2.3.13.4

Вычтем

$1$ из

$- 8$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Этап 2.2.3.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Этап 2.2.3.14

Перенесем

$x^{- \frac{9}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}})$

Этап 2.2.3.15

Умножим

$\frac{6}{5}$ на

$\frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{6 \cdot 4}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Этап 2.2.3.16

Умножим

$6$ на

$4$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Этап 2.2.3.17

Умножим

$5$ на

$5$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Этап 2.3

Вторая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к

$0$ , затем найдем решение уравнения

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна

$0$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$

Этап 3.2.2

Так как

$25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части

$25, 25, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной

$x^{\frac{4}{5}}, x^{\frac{9}{5}}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

$25$ есть множители:

$5$ и

$5$ .

$5 \cdot 5$

Этап 3.2.5

Число

$1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК

$25, 25, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5 \cdot 5$

Этап 3.2.7

Умножим

$5$ на

$5$ .

$25$

Этап 3.2.8

НОК

$x^{\frac{4}{5}}, x^{\frac{9}{5}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{9}{5}}$

Этап 3.2.9

НОК

$25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$ представляет собой произведение числовой части

$25$ и переменной части.

$25 x^{\frac{9}{5}}$

Этап 3.3

Каждый член в

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ умножим на

$25 x^{\frac{9}{5}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ на

$25 x^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель

$25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$25 \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель

$x^{\frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Вынесем множитель

$x^{\frac{4}{5}}$ из

$x^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{5}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{5}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$6 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.4

Разделим

$5$ на

$5$ .

$6 x^{1} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.5

Упростим.

$6 x - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель

$25 x^{\frac{9}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ в числитель.

$6 x + \frac{- 24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$6 x + \frac{- 24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$6 x - 24 = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим

$0 (25 x^{\frac{9}{5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим

$25$ на

$0$ .

$6 x - 24 = 0 x^{\frac{9}{5}}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим

$0$ на

$x^{\frac{9}{5}}$ .

$6 x - 24 = 0$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим

$24$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 24$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член

$6 x = 24$ на

$6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член

$6 x = 24$ на

$6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим

$24$ на

$6$ .

$x = 4$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим

$4$ в

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$ , чтобы найти значение

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$f (4) = {(4)}^{\frac{1}{5}} ((4) + 6)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим

$4$ и

$6$ .

$f (4) = 4^{\frac{1}{5}} \cdot 10$

Этап 4.1.2.2

Перенесем

$10$ влево от

$4^{\frac{1}{5}}$ .

$f (4) = 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ:

$10 \cdot 4^{\frac{1}{5}}$ .

$10 \cdot 4^{\frac{1}{5}}$

Этап 4.2

Подставляя

$4$ в

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$ , найдем точку

$(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$

Этап 5

Разобьем

$(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала

$(- \infty, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{6}{25 {(3.9)}^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем

$3.9$ в степень

$\frac{4}{5}$ .

$f'' (3.9) = \frac{6}{25 \cdot 2.97065136} - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим

$25$ на

$2.97065136$ .

$f'' (3.9) = \frac{6}{74.26628404} - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 6.2.1.3

Разделим

$6$ на

$74.26628404$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 6.2.1.4

Возведем

$3.9$ в степень

$\frac{9}{5}$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - \frac{24}{25 \cdot 11.58554031}$

Этап 6.2.1.5

Умножим

$25$ на

$11.58554031$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - \frac{24}{289.63850777}$

Этап 6.2.1.6

Разделим

$24$ на

$289.63850777$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - 1 \cdot 0.08286191$

Этап 6.2.1.7

Умножим

$- 1$ на

$0.08286191$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - 0.08286191$

Этап 6.2.2

Вычтем

$0.08286191$ из

$0.08079036$ .

$f'' (3.9) = - 0.00207154$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ:

$- 0.00207154$ .

$- 0.00207154$

Этап 6.3

При

$3.9$ вторая производная имеет вид

$- 0.00207154$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале

$(- \infty, 4)$ .

Убывание на

$(- \infty, 4)$ , так как

$f'' (x) < 0$

Убывание на

$(- \infty, 4)$ , так как

$f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала

$(4, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4.1$ .

$f'' (4.1) = \frac{6}{25 {(4.1)}^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем

$4.1$ в степень

$\frac{4}{5}$ .

$f'' (4.1) = \frac{6}{25 \cdot 3.09191171} - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим

$25$ на

$3.09191171$ .

$f'' (4.1) = \frac{6}{77.29779298} - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 7.2.1.3

Разделим

$6$ на

$77.29779298$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Этап 7.2.1.4

Возведем

$4.1$ в степень

$\frac{9}{5}$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - \frac{24}{25 \cdot 12.67683804}$

Этап 7.2.1.5

Умножим

$25$ на

$12.67683804$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - \frac{24}{316.92095122}$

Этап 7.2.1.6

Разделим

$24$ на

$316.92095122$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - 1 \cdot 0.07572866$

Этап 7.2.1.7

Умножим

$- 1$ на

$0.07572866$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - 0.07572866$

Этап 7.2.2

Вычтем

$0.07572866$ из

$0.07762187$ .

$f'' (4.1) = 0.00189321$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ:

$0.00189321$ .

$0.00189321$

Этап 7.3

При

$4.1$ вторая производная имеет вид

$0.00189321$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале

$(4, \infty)$ .

Возрастание в области

$(4, \infty)$ , так как

$f'' (x) > 0$

Возрастание в области

$(4, \infty)$ , так как

$f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка

$(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$ .

$(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$

Этап 9