Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (2 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 24$ .

$12 x^{2} - 24$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 24 = 0$

Этап 2.2

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{2} = 24$

Этап 2.3

Разделим каждый член $12 x^{2} = 24$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $12 x^{2} = 24$ на $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{24}{12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{24}{12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{24}{12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $24$ на $12$ .

$x^{2} = 2$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\sqrt{2}$ в $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.1.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.1.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.1.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Этап 3.1.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 24$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $24$ из $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 20$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- 20$ .

$- 20$

Этап 3.2

Подставляя $\sqrt{2}$ в $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ , найдем точку $(\sqrt{2}, - 20)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{2}, - 20)$

Этап 3.3

Подставим $- \sqrt{2}$ в $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{4}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Этап 3.3.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Этап 3.3.2.1.8

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 3.3.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.2.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.2.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Этап 3.3.2.1.9.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Этап 3.3.2.1.10

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 24$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $24$ из $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 20$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 20$ .

$- 20$

Этап 3.4

Подставляя $- \sqrt{2}$ в $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ , найдем точку $(- \sqrt{2}, - 20)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{2}, - 20)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\sqrt{2}, - 20), (- \sqrt{2}, - 20)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.51421356$ .

$f'' (- 1.51421356) = 12 {(- 1.51421356)}^{2} - 24$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.51421356$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.51421356) = 12 \cdot 2.29284271 - 24$

Этап 5.2.1.2

Умножим $12$ на $2.29284271$ .

$f'' (- 1.51421356) = 27.51411254 - 24$

Этап 5.2.2

Вычтем $24$ из $27.51411254$ .

$f'' (- 1.51421356) = 3.51411254$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $3.51411254$ .

$3.51411254$

Этап 5.3

При $- 1.51421356$ вторая производная имеет вид $3.51411254$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \sqrt{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \sqrt{2})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 24$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 24$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Этап 6.2.2

Вычтем $24$ из $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 24$ .

$- 24$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 24$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ .

Убывание на $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\sqrt{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.51421356$ .

$f'' (1.51421356) = 12 {(1.51421356)}^{2} - 24$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.51421356$ в степень $2$ .

$f'' (1.51421356) = 12 \cdot 2.29284271 - 24$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $2.29284271$ .

$f'' (1.51421356) = 27.51411254 - 24$

Этап 7.2.2

Вычтем $24$ из $27.51411254$ .

$f'' (1.51421356) = 3.51411254$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $3.51411254$ .

$3.51411254$

Этап 7.3

При $1.51421356$ вторая производная имеет вид $3.51411254$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\sqrt{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{2}, - 20), (\sqrt{2}, - 20)$ .

$(- \sqrt{2}, - 20), (\sqrt{2}, - 20)$

Этап 9