Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{5}{7}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1}$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Этап 1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}}$

Этап 1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}}$

Этап 1.1.5.2

Вычтем $7$ из $5$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}}$

Этап 1.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}}$

Этап 1.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$

Этап 1.1.7.2

Умножим $\frac{5}{7}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{5}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ по $x$ равна $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$

Этап 1.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{7} \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2.2

Умножим $\frac{2}{7} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1

Объединим $\frac{2}{7}$ и $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{7}}]$

Этап 1.2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{7}}]$

Этап 1.2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{7}}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1})$

Этап 1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Этап 1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 7}{7}})$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $7$ из $- 2$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 9}{7}})$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{9}{7}})$

Этап 1.2.9

Объединим $x^{- \frac{9}{7}}$ и $\frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7})$

Этап 1.2.10

Умножим $\frac{5}{7}$ на $\frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7}$ .

$- \frac{5 (x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2)}{7 \cdot 7}$

Этап 1.2.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{7 \cdot 7}$

Этап 1.2.11.2

Умножим $7$ на $7$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{49}$

Этап 1.2.11.3

Перенесем $x^{- \frac{9}{7}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$10 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $10 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба