Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 3$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{5}{3}} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 0$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Добавим $\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$ и $0$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{5}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.2.9

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3}$

Этап 1.2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Этап 1.2.10.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$10 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $10 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба