Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 36}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8 x}{x^{2} - 36}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 36})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 36$ .

$f' (x) = 8 (\frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.3.2

Умножим $x^{2} - 36$ на $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36))}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 36))}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = 8 (\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}})$

Этап 1.1.9

Объединим $8$ и $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{8 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.10.2.2

Умножим $8$ на $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} - 288}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} - 288) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} - 288) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} - 288) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.2.2

По правилу суммы производная $- 8 x^{2} - 288$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 288)) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 288)) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 288)) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x + \frac{d}{d x} (- 288)) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.2.6

Поскольку $- 288$ является константой относительно $x$ , производная $- 288$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x + 0) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.2.7

Добавим $- 16 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 288) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 288) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 288) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 288) (2 (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 288) ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 288) ((x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 288) ((x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} (- 36)))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.4.4

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 288) ((x^{2} - 36) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 288) ((x^{2} - 36) (2 x))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 288) (2 \cdot ((x^{2} - 36) x))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) - 4 (- 8 x^{2} - 288) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (- 16 x) + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 16 {(x^{2} - 36)}^{2} x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} - 36)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36)$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 ((x^{2} - 36) (x^{2} - 36)) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} (x^{2} - 36) - 36 (x^{2} - 36)) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 (x^{2} - 36)) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.2

Перенесем $- 36$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} - 36 \cdot x^{2} - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $- 36$ на $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 1296) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.2

Вычтем $36 x^{2}$ из $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} - 72 x^{2} + 1296) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 16 x^{4} - 16 (- 72 x^{2}) - 16 \cdot 1296) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.6.1

Умножим $- 72$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 16 x^{4} + 1152 x^{2} - 16 \cdot 1296) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.6.2

Умножим $- 16$ на $1296$ .

$f'' (x) = \frac{(- 16 x^{4} + 1152 x^{2} - 20736) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{4} x + 1152 x^{2} x - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x \cdot x^{4}) + 1152 x^{2} x - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x \cdot x^{4}) + 1152 x^{2} x - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{1 + 4} + 1152 x^{2} x - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{2} x - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 (x \cdot x^{2}) - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 (x \cdot x^{2}) - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{1 + 2} - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + (32 x^{2} - 4 \cdot - 288) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $- 288$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + (32 x^{2} + 1152) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + (32 x^{2} + 1152) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + (32 x^{2} + 1152) (x^{2 + 1} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + (32 x^{2} + 1152) (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11

Развернем $(32 x^{2} + 1152) (x^{3} - 36 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{2} (x^{3} - 36 x) + 1152 (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{2} x^{3} + 32 x^{2} (- 36 x) + 1152 (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{2} x^{3} + 32 x^{2} (- 36 x) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 (x^{3} x^{2}) + 32 x^{2} (- 36 x) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{3 + 2} + 32 x^{2} (- 36 x) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} + 32 x^{2} (- 36 x) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (- 36 x^{2} x) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (- 36 (x \cdot x^{2})) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (- 36 (x \cdot x^{2})) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (- 36 x^{1 + 2}) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (- 36 x^{3}) + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.4

Умножим $32$ на $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} - 1152 x^{3} + 1152 x^{3} + 1152 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.5

Умножим $- 36$ на $1152$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} - 1152 x^{3} + 1152 x^{3} - 41472 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.2

Добавим $- 1152 x^{3}$ и $1152 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} + 0 - 41472 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.3

Добавим $32 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x + 32 x^{5} - 41472 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.2

Добавим $- 16 x^{5}$ и $32 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{5} + 1152 x^{3} - 20736 x - 41472 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.3

Вычтем $41472 x$ из $- 20736 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{5} + 1152 x^{3} - 62208 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x^{5} + 1152 x^{3} - 62208 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4}) + 1152 x^{3} - 62208 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $16 x$ из $1152 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4}) + 16 x (72 x^{2}) - 62208 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $16 x$ из $- 62208 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4}) + 16 x (72 x^{2}) + 16 x (- 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x (x^{4}) + 16 x (72 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4} + 72 x^{2}) + 16 x (- 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x (x^{4} + 72 x^{2}) + 16 x (- 3888)$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4} + 72 x^{2} - 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x ({(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} - 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{16 x (u^{2} + 72 u - 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4

Разложим $u^{2} + 72 u - 3888$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3888$ , а сумма — $72$ .

$- 36, 108$

Этап 1.2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{16 x ((u - 36) (u + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x ((x^{2} - 36) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.6

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x ((x^{2} - 6^{2}) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x + 6) (x - 6) (x^{2} + 108)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 1.2.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x + 6) (x - 6) (x^{2} + 108)}{{(x^{2} - 6^{2})}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.2

$f'' (x) = \frac{16 x (x + 6) (x - 6) (x^{2} + 108)}{{((x + 6) (x - 6))}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.3

Применим правило умножения к $(x + 6) (x - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x + 6) (x - 6) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

Этап 1.2.5.6

Сократим общий множитель $x + 6$ и ${(x + 6)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.6.1

Вынесем множитель $x + 6$ из $16 x (x + 6) (x - 6) (x^{2} + 108)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((16 x (x - 6)) (x^{2} + 108))}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

Этап 1.2.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.6.2.1

Вынесем множитель $x + 6$ из ${(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((16 x (x - 6)) (x^{2} + 108))}{(x + 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4})}$

Этап 1.2.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((16 x (x - 6)) (x^{2} + 108))}{(x + 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4})}$

Этап 1.2.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(16 x (x - 6)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7

Сократим общий множитель $x - 6$ и ${(x - 6)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.1

Вынесем множитель $x - 6$ из $(16 x (x - 6)) (x^{2} + 108)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 6) ((16 x) (x^{2} + 108))}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.2.1

Вынесем множитель $x - 6$ из ${(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 6) ((16 x) (x^{2} + 108))}{(x - 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3})}$

Этап 1.2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 6) ((16 x) (x^{2} + 108))}{(x - 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3})}$

Этап 1.2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(16 x) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{16 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{16 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{16 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{16 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$16 x (x^{2} + 108) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 108 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x^{2} + 108$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x^{2} + 108$ к $0$ .

$x^{2} + 108 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $x^{2} + 108 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $108$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 108$

Этап 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 108}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 108}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (108)}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$

Этап 2.3.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{108}$

Этап 2.3.3.2.3.4

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.4.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}$

Этап 2.3.3.2.3.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (6 \sqrt{3})$

Этап 2.3.3.2.3.6

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \pm 6 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6 i \sqrt{3}, - 6 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $16 x (x^{2} + 108) = 0$ верно.

$x = 0, 6 i \sqrt{3}, - 6 i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 36}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{8 (0)}{{(0)}^{2} - 36}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $8$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 36}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 36}$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 36}$

Этап 3.1.2.3

Разделим $0$ на $- 36$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 36}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{16 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 108)}{{((- 0.1) + 6)}^{3} {((- 0.1) - 6)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $16$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.6 ({(- 0.1)}^{2} + 108)}{{(- 0.1 + 6)}^{3} {(- 0.1 - 6)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1.6$ на ${(- 0.1)}^{2} + 108$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 172.816}{{(- 0.1 + 6)}^{3} {(- 0.1 - 6)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 0.1$ и $6$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 172.816}{{5.9}^{3} {(- 0.1 - 6)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $6$ из $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 172.816}{{5.9}^{3} {(- 6.1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $5.9$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 172.816}{205.379 {(- 6.1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $- 6.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 172.816}{205.379 \cdot - 226.981}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $205.379$ на $- 226.981$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 172.816}{- 46617.130799}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $- 172.816$ на $- 46617.130799$ .

$f'' (- 0.1) = 0.00370713$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $0.00370713$ .

$0.00370713$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.00370713$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{16 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 108)}{{((0.1) + 6)}^{3} {((0.1) - 6)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $16$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.6 ({0.1}^{2} + 108)}{{(0.1 + 6)}^{3} {(0.1 - 6)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $1.6$ на ${0.1}^{2} + 108$ .

$f'' (0.1) = \frac{172.816}{{(0.1 + 6)}^{3} {(0.1 - 6)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $0.1$ и $6$ .

$f'' (0.1) = \frac{172.816}{{6.1}^{3} {(0.1 - 6)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $6$ из $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{172.816}{{6.1}^{3} {(- 5.9)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $6.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{172.816}{226.981 {(- 5.9)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 5.9$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{172.816}{226.981 \cdot - 205.379}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $226.981$ на $- 205.379$ .

$f'' (0.1) = \frac{172.816}{- 46617.130799}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $172.816$ на $- 46617.130799$ .

$f'' (0.1) = - 0.00370713$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00370713$ .

$- 0.00370713$

Этап 6.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.00370713$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 8