Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ в виде ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 9 x^{2} + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x^{2} + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{2} + 18$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.1.9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.1.11

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.1.12

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x + 0)$

Этап 1.1.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x)$

Этап 1.1.13.2

Объединим $18$ и $\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{18}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} x$

Этап 1.1.13.3

Объединим $\frac{18}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{18 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.13.4

Вынесем множитель $3$ из $18 x$ .

$\frac{3 (6 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.14.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (6 x)}{3 ({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 1.1.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (6 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.14.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{6 x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Этап 1.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.3.3

Умножим ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x^{2} + 18$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{2} + 18$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.9.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2 {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.9.3

Перенесем ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.9.4

Объединим $\frac{2}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.10

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.11

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.13

Умножим $2$ на $9$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.14

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x + 0)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.15.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.15.2

Умножим $18$ на $- 1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - 18 \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.15.3

Объединим $- 18$ и $\frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 18 (2 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.15.4

Умножим $2$ на $- 18$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.15.5

Объединим $\frac{- 36 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x \cdot x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 (x^{1} x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 (x^{1} x^{1})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x^{1 + 1}}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.19

Добавим $1$ и $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x^{2}}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.20

Вынесем множитель $3$ из $- 36 x^{2}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.21

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 ({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}})}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.21.2

Сократим общий множитель.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.21.3

Перепишем это выражение.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.23

Чтобы записать ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.25

Умножим ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.25.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.25.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 + 1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.25.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{3}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.25.4

Разделим $3$ на $3$ .

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{1} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.26

Упростим ${(9 x^{2} + 18)}^{1}$ .

$6 \frac{\frac{9 x^{2} + 18 - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.27

Вычтем $12 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$6 \frac{\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.28

Перепишем $\frac{\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$ в виде произведения.

$6 (\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}})$

Этап 1.2.29

Умножим $\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.30

Умножим ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.30.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.30.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 + 4}{3}}}$

Этап 1.2.30.3

Добавим $1$ и $4$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.31

Объединим $6$ и $\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 18)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.32.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.32.2.1

Умножим $- 3$ на $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.2.2

Умножим $6$ на $18$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 108}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.3

Вынесем множитель $18$ из $- 18 x^{2} + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.32.3.1

Вынесем множитель $18$ из $- 18 x^{2}$ .

$\frac{18 (- x^{2}) + 108}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.3.2

Вынесем множитель $18$ из $108$ .

$\frac{18 (- x^{2}) + 18 (6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.3.3

Вынесем множитель $18$ из $18 (- x^{2}) + 18 (6)$ .

$\frac{18 (- x^{2} + 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{18 (- (x^{2}) + 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.5

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{18 (- (x^{2}) - 1 (- 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{18 (- (x^{2} - 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.7

Перепишем $- (x^{2} - 6)$ в виде $- 1 (x^{2} - 6)$ .

$\frac{18 (- 1 (x^{2} - 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.2.32.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$18 (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $18 (x^{2} - 6) = 0$ на $18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $18 (x^{2} - 6) = 0$ на $18$ .

$\frac{18 (x^{2} - 6)}{18} = \frac{0}{18}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 (x^{2} - 6)}{18} = \frac{0}{18}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2} - 6$ на $1$ .

$x^{2} - 6 = \frac{0}{18}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $18$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 6$

Этап 2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{6}$

Этап 2.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6}$

Этап 2.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6}$

Этап 2.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\sqrt{6}$ в $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{6}$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(\sqrt{6})}^{2} + 18}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 18}$

Этап 3.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 18}$

Этап 3.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Этап 3.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Этап 3.1.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Этап 3.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Умножим $9$ на $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{54 + 18}$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $54$ и $18$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{72}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем $72$ в виде $2^{3} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Вынесем множитель $8$ из $72$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{8 (9)}$

Этап 3.1.2.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 9}$

Этап 3.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{6}) = 2 \sqrt[3]{9}$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $2 \sqrt[3]{9}$ .

$2 \sqrt[3]{9}$

Этап 3.2

Подставляя $\sqrt{6}$ в $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ , найдем точку $(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Этап 3.3

Подставим $- \sqrt{6}$ в $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(- \sqrt{6})}^{2} + 18}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + 18}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + 18}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим ${\sqrt{6}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {\sqrt{6}}^{2} + 18}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 18}$

Этап 3.3.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 18}$

Этап 3.3.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Этап 3.3.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Этап 3.3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Этап 3.3.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Этап 3.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $9$ на $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{54 + 18}$

Этап 3.3.2.3.2

Добавим $54$ и $18$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{72}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем $72$ в виде $2^{3} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Вынесем множитель $8$ из $72$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{8 (9)}$

Этап 3.3.2.4.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 9}$

Этап 3.3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{6}) = 2 \sqrt[3]{9}$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $2 \sqrt[3]{9}$ .

$2 \sqrt[3]{9}$

Этап 3.4

Подставляя $- \sqrt{6}$ в $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ , найдем точку $(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{6})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.54948974$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 ({(- 2.54948974)}^{2} - 6)}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.54948974$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 (6.49989794 - 6)}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $6$ из $6.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Возведем $- 2.54948974$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot 6.49989794 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $9$ на $6.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(58.49908153 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $58.49908153$ и $18$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{76.49908153}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $76.49908153$ в степень $\frac{5}{3}$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{1378.56432329}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $18$ на $0.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{8.99816307}{1378.56432329}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $8.99816307$ на $1378.56432329$ .

$f'' (- 2.54948974) = - 1 \cdot 0.00652719$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0.00652719$ .

$f'' (- 2.54948974) = - 0.00652719$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00652719$ .

$- 0.00652719$

Этап 5.3

При $- 2.54948974$ вторая производная имеет вид $- 0.00652719$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Убывание на $(- \infty, - \sqrt{6})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 ({(0)}^{2} - 6)}{{(9 {(0)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 (0 - 6)}{{(9 \cdot 0^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $6$ из $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(9 \cdot 0^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(9 \cdot 0 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $9$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(0 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $18$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{18^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $18$ на $- 6$ .

$f'' (0) = - \frac{- 108}{18^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = \frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $0.87358046$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ .

Возрастание в области $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\sqrt{6}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.54948974$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 ({(2.54948974)}^{2} - 6)}{{(9 {(2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2.54948974$ в степень $2$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 (6.49989794 - 6)}{{(9 \cdot {2.54948974}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $6$ из $6.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot {2.54948974}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Возведем $2.54948974$ в степень $2$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot 6.49989794 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $9$ на $6.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(58.49908153 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $58.49908153$ и $18$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{76.49908153}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $76.49908153$ в степень $\frac{5}{3}$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{1378.56432329}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $18$ на $0.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{8.99816307}{1378.56432329}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $8.99816307$ на $1378.56432329$ .

$f'' (2.54948974) = - 1 \cdot 0.00652719$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0.00652719$ .

$f'' (2.54948974) = - 0.00652719$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00652719$ .

$- 0.00652719$

Этап 7.3

При $2.54948974$ вторая производная имеет вид $- 0.00652719$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\sqrt{6}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{6}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ .

$(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Этап 9