Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 18 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $12 x - 18$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x - 18$ .

$12 x - 18$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x - 18 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x - 18 = 0$

Этап 2.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$12 x = 18$

Этап 2.3

Разделим каждый член $12 x = 18$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $12 x = 18$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{18}{12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $18$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$x = \frac{6 (3)}{12}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{3}{2}$ в $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{9}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{9}{4}) + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.8

Умножим $- 9 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.8.1

Объединим $- 9$ и $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.8.2

Умножим $- 9$ на $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 (6) (\frac{3}{2})$

Этап 3.1.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

Этап 3.1.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 6 \cdot 3$

Этап 3.1.2.1.11

Умножим $6$ на $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18$

Этап 3.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{27 - 81}{4}$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $81$ из $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 54}{4}$

Этап 3.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Сократим общий множитель $- 54$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 54$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 (- 27)}{4}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 27}{2}$

Этап 3.1.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{2}) = 18 - \frac{27}{2}$

Этап 3.1.2.4

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Этап 3.1.2.5

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Этап 3.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Этап 3.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Умножим $18$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{36 - 27}{2}$

Этап 3.1.2.7.2

Вычтем $27$ из $36$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$

Этап 3.1.2.8

Окончательный ответ: $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{3}{2}$ в $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ , найдем точку $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.4$ .

$f'' (1.4) = 12 (1.4) - 18$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $12$ на $1.4$ .

$f'' (1.4) = 16.8 - 18$

Этап 5.2.2

Вычтем $18$ из $16.8$ .

$f'' (1.4) = - 1.2$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 1.2$ .

$- 1.2$

Этап 5.3

При $1.4$ вторая производная имеет вид $- 1.2$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{3}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{3}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.6$ .

$f'' (1.6) = 12 (1.6) - 18$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $12$ на $1.6$ .

$f'' (1.6) = 19.2 - 18$

Этап 6.2.2

Вычтем $18$ из $19.2$ .

$f'' (1.6) = 1.2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1.2$ .

$1.2$

Этап 6.3

При $1.6$ вторая производная имеет вид $1.2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{3}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Этап 8