Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x {(x - 4)}^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.4.6

Умножим ${(x - 4)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Этап 1.1.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Этап 1.1.5.3.2

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Этап 1.1.5.3.3

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Этап 1.1.5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.5

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.6

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.7.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.7.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.7.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.9.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.9.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Этап 1.1.5.10

Развернем $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.7

Умножим $- 16$ на $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.8

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.9

Умножим $4$ на $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Этап 1.1.5.11.10

Умножим $32$ на $- 4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Этап 1.1.5.12

Вычтем $64 x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Этап 1.1.5.13

Добавим $64 x$ и $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 x^{2}$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $192$ является константой относительно $x$ , производная $192 x$ по $x$ равна $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.4.3

Умножим $192$ на $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Поскольку $- 128$ является константой относительно $x$ , производная $- 128$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $24 x^{2} - 144 x + 192$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $24$ из $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $24$ из $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $24$ из $- 144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $24$ из $192$ .

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $24$ из $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ .

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $24$ из $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 4, 2$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4$ в $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

Этап 3.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (4) = 8 \cdot 0$

Этап 3.1.2.4

Умножим $8$ на $0$ .

$f (4) = 0$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $4$ в $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ , найдем точку $(4, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, 0)$

Этап 3.3

Подставим $2$ в $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Этап 3.3.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (2) = 4 \cdot - 8$

Этап 3.3.2.4

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f (2) = - 32$

Этап 3.3.2.5

Окончательный ответ: $- 32$ .

$- 32$

Этап 3.4

Подставляя $2$ в $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ , найдем точку $(2, - 32)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2, - 32)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(4, 0), (2, - 32)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.9$ .

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $1.9$ в степень $2$ .

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Этап 5.2.1.2

Умножим $24$ на $3.61$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 144$ на $1.9$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $273.6$ из $86.64$ .

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 186.96$ и $192$ .

$f'' (1.9) = 5.04$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $5.04$ .

$5.04$

Этап 5.3

При $1.9$ вторая производная имеет вид $5.04$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(2, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

Этап 6.2.1.2

Умножим $24$ на $9$ .

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 144$ на $3$ .

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $432$ из $216$ .

$f'' (3) = - 216 + 192$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 216$ и $192$ .

$f'' (3) = - 24$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 24$ .

$- 24$

Этап 6.3

При $3$ вторая производная имеет вид $- 24$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(2, 4)$ .

Убывание на $(2, 4)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $4.1$ в степень $2$ .

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Этап 7.2.1.2

Умножим $24$ на $16.81$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 144$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $590.4$ из $403.44$ .

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 186.96$ и $192$ .

$f'' (4.1) = 5.04$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $5.04$ .

$5.04$

Этап 7.3

При $4.1$ вторая производная имеет вид $5.04$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(4, \infty)$ .

Возрастание в области $(4, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

Этап 9