Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.1.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 1.1.3.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 1.1.3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.3.12

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 1.1.3.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.3.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 1.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Этап 1.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Этап 1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 1.2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 1.2.2.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 1.2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 1.2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 1.2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 1.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 1.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Этап 1.2.2.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Этап 1.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Этап 1.2.2.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 1.2.2.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 1.2.2.13

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 1.2.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Этап 1.2.2.13.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Этап 1.2.2.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 1.2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Этап 1.2.2.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.2.16

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2.3

Вычтем $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба