Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

Этап 1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

Этап 1.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

Этап 1.1.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

Этап 1.1.4.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

Этап 1.1.4.3.4

Умножим $8$ на $- 12$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} - 96 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 96$ является константой относительно $x$ , производная $- 96 x$ по $x$ равна $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 96$ на $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{2} - 96$ .

$24 x^{2} - 96$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{2} - 96 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$24 x^{2} - 96 = 0$

Этап 2.2

Добавим $96$ к обеим частям уравнения.

$24 x^{2} = 96$

Этап 2.3

Разделим каждый член $24 x^{2} = 96$ на $24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $24 x^{2} = 96$ на $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{96}{24}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $96$ на $24$ .

$x^{2} = 4$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2$ в $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.3

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 64$

Этап 3.1.2.4

Умножим $2$ на $64$ .

$f (2) = 128$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $128$ .

$128$

Этап 3.2

Подставляя $2$ в $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ , найдем точку $(2, 128)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2, 128)$

Этап 3.3

Подставим $- 2$ в $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.3.2.3

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

Этап 3.3.2.4

Умножим $2$ на $64$ .

$f (- 2) = 128$

Этап 3.3.2.5

Окончательный ответ: $128$ .

$128$

Этап 3.4

Подставляя $- 2$ в $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ , найдем точку $(- 2, 128)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, 128)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(2, 128), (- 2, 128)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Этап 5.2.1.2

Умножим $24$ на $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

Этап 5.2.2

Вычтем $96$ из $105.84$ .

$f'' (- 2.1) = 9.84$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $9.84$ .

$9.84$

Этап 5.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $9.84$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

Этап 6.2.1.2

Умножим $24$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Этап 6.2.2

Вычтем $96$ из $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 96$ .

$- 96$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 96$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2, 2)$ .

Убывание на $(- 2, 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2.1$ в степень $2$ .

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Этап 7.2.1.2

Умножим $24$ на $4.41$ .

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

Этап 7.2.2

Вычтем $96$ из $105.84$ .

$f'' (2.1) = 9.84$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $9.84$ .

$9.84$

Этап 7.3

При $2.1$ вторая производная имеет вид $9.84$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

Этап 9