Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{8} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{4}{8}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2.2.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Этап 3.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Объединим.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Этап 3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Этап 3.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Этап 3.4.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Этап 3.4.1.1.3.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Этап 3.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} = 4$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 3.6

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 3.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 3.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2$ в $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $12$ из $2$ .

$f (2) = - 10$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $- 10$ .

$- 10$

Этап 4.2

Подставляя $2$ в $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ , найдем точку $(2, - 10)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2, - 10)$

Этап 4.3

Подставим $- 2$ в $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $12$ из $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $- 10$ .

$- 10$

Этап 4.4

Подставляя $- 2$ в $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ , найдем точку $(- 2, - 10)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, - 10)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Этап 6.2.1.3

Разделим $13.23$ на $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Этап 6.2.2

Вычтем $6$ из $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.615$ .

$0.615$

Этап 6.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $0.615$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Этап 7.2.1.3

Разделим $0$ на $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Этап 7.2.2

Вычтем $6$ из $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 6$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2, 2)$ .

Убывание на $(- 2, 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2.1$ в степень $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Этап 8.2.1.2

Умножим $3$ на $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Этап 8.2.1.3

Разделим $13.23$ на $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Этап 8.2.2

Вычтем $6$ из $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.615$ .

$0.615$

Этап 8.3

При $2.1$ вторая производная имеет вид $0.615$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Этап 10