Математический анализ Примеры

Найти точки перегиба y=(x^2+1)/(x^2-9)
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.2.4
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.4.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.4.2
Перенесем влево от .
Этап 2.1.2.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.2.8
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.8.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.8.2
Умножим на .
Этап 2.1.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.3.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.3.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.5.1
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.5.1.1
Вычтем из .
Этап 2.1.3.5.1.2
Добавим и .
Этап 2.1.3.5.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.5.2.1
Умножим на .
Этап 2.1.3.5.2.2
Умножим на .
Этап 2.1.3.5.3
Вычтем из .
Этап 2.1.3.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.3.7
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.7.1
Перепишем в виде .
Этап 2.1.3.7.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 2.1.3.7.3
Применим правило умножения к .
Этап 2.2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.3.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3.2
Умножим на .
Этап 2.2.4
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2.5
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.5.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.2.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.5.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.2.6
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.6.1
Перенесем влево от .
Этап 2.2.6.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2.6.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.6.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.2.6.5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.6.5.1
Добавим и .
Этап 2.2.6.5.2
Умножим на .
Этап 2.2.7
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.7.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.2.7.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.7.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.2.8
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.8.1
Перенесем влево от .
Этап 2.2.8.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2.8.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.8.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.2.8.5
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.8.5.1
Добавим и .
Этап 2.2.8.5.2
Умножим на .
Этап 2.2.8.5.3
Объединим и .
Этап 2.2.8.5.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.9
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.2.9.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.9.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.9.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.2
Объединим показатели степеней.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.2.1
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.2.2
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.3.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.3.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.9.4.3.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.9.4.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.9.4.3.2
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.3.2.1
Изменим порядок множителей в членах и .
Этап 2.2.9.4.3.2.2
Добавим и .
Этап 2.2.9.4.3.2.3
Добавим и .
Этап 2.2.9.4.3.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.3.3.1
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.3.3.2
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.3.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.9.4.3.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.3.5.1
Перенесем .
Этап 2.2.9.4.3.5.2
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.3.6
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.3.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.9.4.3.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.3.8.1
Перенесем .
Этап 2.2.9.4.3.8.2
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.3.9
Умножим на .
Этап 2.2.9.4.4
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.4.1
Добавим и .
Этап 2.2.9.4.4.2
Добавим и .
Этап 2.2.9.4.5
Вычтем из .
Этап 2.2.9.4.6
Вычтем из .
Этап 2.2.9.4.7
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.4.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.7.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.7.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.4.8
Умножим на .
Этап 2.2.9.5
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.5.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.5.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.2.9.5.1.2
Умножим на .
Этап 2.2.9.5.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.5.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.2.9.5.2.2
Умножим на .
Этап 2.2.9.5.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.5.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.5.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.5.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.5.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.9.5.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.9.5.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.5.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.5.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.9.5.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.5.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.9.5.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.9.6
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.7
Перепишем в виде .
Этап 2.2.9.8
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.9.9
Перепишем в виде .
Этап 2.2.9.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.9.11
Умножим на .
Этап 2.2.9.12
Умножим на .
Этап 2.3
Вторая производная по равна .
Этап 3
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 3.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 3.3
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.3.1.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 3.3.1.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 3.3.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 3.3.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.4.1
Перепишем в виде .
Этап 3.3.4.2
Перепишем в виде .
Этап 3.3.4.3
Перепишем в виде .
Этап 3.3.5
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.5.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 3.3.5.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 3.3.5.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 4
Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной .
Нет точек перегиба