Математический анализ Примеры

$y = {(x - 2)}^{3} + 3$

Этап 1

Запишем $y = {(x - 2)}^{3} + 3$ в виде функции.

$f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная ${(x - 2)}^{3} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + 0$

Этап 2.1.3.2

Добавим $3 {(x - 2)}^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 2) (x - 2)))$

Этап 2.2.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)))$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Этап 2.2.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 x + 4))$

Этап 2.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (x^{2} - 4 x + 4)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 2.2.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 2.2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + 0)$

Этап 2.2.11

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4)$

Этап 2.2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 4$

Этап 2.2.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 4$

Этап 2.2.12.2.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Этап 3.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 12$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 x = 12$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 x = 12$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $12$ на $6$ .

$x = 2$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2$ в $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {((2) - 2)}^{3} + 3$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (2) = 0^{3} + 3$

Этап 4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (2) = 3$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 4.2

Подставляя $2$ в $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ , найдем точку $(2, 3)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2, 3)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.9$ .

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $6$ на $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

Этап 6.2.2

Вычтем $12$ из $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.6$ .

$- 0.6$

Этап 6.3

При $1.9$ вторая производная имеет вид $- 0.6$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 2)$ .

Убывание на $(- \infty, 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $6$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

Этап 7.2.2

Вычтем $12$ из $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.6$ .

$0.6$

Этап 7.3

При $2.1$ вторая производная имеет вид $0.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(2, 3)$ .

$(2, 3)$

Этап 9