Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{x^{2} - 16}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 16})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.3.2

Умножим $x^{2} - 16$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.3.5

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 2.1.9

Объединим $3$ и $\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 2.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 2.1.10.2.2

Умножим $3$ на $- 16$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 48}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 48) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 48) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 48) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.2

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} - 48$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.6

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.7

Добавим $- 6 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) (2 (x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (2 x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) (2 \cdot ((x^{2} - 16) x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 16)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} - 16)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.2

Перенесем $- 16$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $- 16$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.2

Вычтем $16 x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 32 x^{2}) - 6 \cdot 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.6.1

Умножим $- 32$ на $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 192 x^{2} - 6 \cdot 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.6.2

Умножим $- 6$ на $256$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 192 x^{2} - 1536) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 (x \cdot x^{2}) - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 (x \cdot x^{2}) - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{1 + 2} - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{2 + 1} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11

Развернем $(12 x^{2} + 192) (x^{3} - 16 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{2} (x^{3} - 16 x) + 192 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{2} x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{1 + 2}) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{3}) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.4

Умножим $12$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} - 192 x^{3} + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.5

Умножим $- 16$ на $192$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} - 192 x^{3} + 192 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.2

Добавим $- 192 x^{3}$ и $192 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 0 - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.3

Добавим $12 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.2

Добавим $- 6 x^{5}$ и $12 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.3

Вычтем $3072 x$ из $- 1536 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 192 x^{3} - 4608 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{5} + 192 x^{3} - 4608 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 192 x^{3} - 4608 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $6 x$ из $192 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (32 x^{2}) - 4608 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $6 x$ из $- 4608 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (32 x^{2}) + 6 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{4}) + 6 x (32 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 6 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 6 x (- 768)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 32 u - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.4

Разложим $u^{2} + 32 u - 768$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 768$ , а сумма — $32$ .

$- 16, 48$

Этап 2.2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 16) (u + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.6

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Этап 2.2.5.5.2

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{((x + 4) (x - 4))}^{4}}$

Этап 2.2.5.5.3

Применим правило умножения к $(x + 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 2.2.5.6

Сократим общий множитель $x + 4$ и ${(x + 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((6 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 2.2.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.2.1

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((6 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Этап 2.2.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((6 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Этап 2.2.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 4)) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 2.2.5.7

Сократим общий множитель $x - 4$ и ${(x - 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.7.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(6 x (x - 4)) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((6 x) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 2.2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.7.2.1

Вынесем множитель $x - 4$ из ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((6 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Этап 2.2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((6 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Этап 2.2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$6 x (x^{2} + 48) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 48 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $x^{2} + 48$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x^{2} + 48$ к $0$ .

$x^{2} + 48 = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим $x^{2} + 48 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вычтем $48$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 48$

Этап 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 48}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 48}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (48)}$

Этап 3.3.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$

Этап 3.3.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{48}$

Этап 3.3.3.2.3.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}$

Этап 3.3.3.2.3.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Этап 3.3.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{3})$

Этап 3.3.3.2.3.6

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \pm 4 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x (x^{2} + 48) = 0$ верно.

$x = 0, 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 16}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 16}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 16}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 16}$

Этап 4.1.2.3

Разделим $0$ на $- 16$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 48)}{{((- 0.1) + 4)}^{3} {((- 0.1) - 4)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $6$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 48)}{{(- 0.1 + 4)}^{3} {(- 0.1 - 4)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 0.6$ на ${(- 0.1)}^{2} + 48$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{{(- 0.1 + 4)}^{3} {(- 0.1 - 4)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 0.1$ и $4$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{{3.9}^{3} {(- 0.1 - 4)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{{3.9}^{3} {(- 4.1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $3.9$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{59.319 {(- 4.1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 4.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{59.319 \cdot - 68.921}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $59.319$ на $- 68.921$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{- 4088.324799}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $- 28.806$ на $- 4088.324799$ .

$f'' (- 0.1) = 0.00704591$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.00704591$ .

$0.00704591$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.00704591$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 48)}{{((0.1) + 4)}^{3} {((0.1) - 4)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $6$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 48)}{{(0.1 + 4)}^{3} {(0.1 - 4)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $0.6$ на ${0.1}^{2} + 48$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{{(0.1 + 4)}^{3} {(0.1 - 4)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $0.1$ и $4$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{{4.1}^{3} {(0.1 - 4)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $4$ из $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{{4.1}^{3} {(- 3.9)}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $4.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{68.921 {(- 3.9)}^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $- 3.9$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{68.921 \cdot - 59.319}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $68.921$ на $- 59.319$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{- 4088.324799}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $28.806$ на $- 4088.324799$ .

$f'' (0.1) = - 0.00704591$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00704591$ .

$- 0.00704591$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.00704591$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 9