Математический анализ Примеры

$y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Этап 1

Запишем $y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ в виде функции.

$f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{6}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{5}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $5$ на $6$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + 0$

Этап 2.1.5.2

Добавим $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ и $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{5}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.2.3

Умножим $5$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 x^{4}$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $4$ на $30$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 120 x^{3} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $120 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 4 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 4)$ .

$- 30 x^{3} (x - 4) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 30 x^{3} (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{6} + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $0$ и $13$ .

$f (0) = 13$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $13$ .

$13$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ , найдем точку $(0, 13)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 13)$

Этап 4.3

Подставим $4$ в $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - {(4)}^{6} + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $6$ .

$f (4) = - 1 \cdot 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4096$ .

$f (4) = - 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $4$ в степень $5$ .

$f (4) = - 4096 + 6 \cdot 1024 - 6 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $6$ на $1024$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 6 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 24 + 13$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Добавим $- 4096$ и $6144$ .

$f (4) = 2048 - 24 + 13$

Этап 4.3.2.2.2

Вычтем $24$ из $2048$ .

$f (4) = 2024 + 13$

Этап 4.3.2.2.3

Добавим $2024$ и $13$ .

$f (4) = 2037$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $2037$ .

$2037$

Этап 4.4

Подставляя $4$ в $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ , найдем точку $(4, 2037)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, 2037)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 13), (4, 2037)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 30$ на $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 0.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 \cdot - 0.001$

Этап 6.2.1.4

Умножим $120$ на $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.12$

Этап 6.2.2

Вычтем $0.12$ из $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.123$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.123$ .

$- 0.123$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.123$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = - 30 {(2)}^{4} + 120 {(2)}^{3}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (2) = - 30 \cdot 16 + 120 {(2)}^{3}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 30$ на $16$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 {(2)}^{3}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 \cdot 8$

Этап 7.2.1.4

Умножим $120$ на $8$ .

$f'' (2) = - 480 + 960$

Этап 7.2.2

Добавим $- 480$ и $960$ .

$f'' (2) = 480$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $480$ .

$480$

Этап 7.3

При $2$ вторая производная имеет вид $480$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, 4)$ .

Возрастание в области $(0, 4)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 30 {(4.1)}^{4} + 120 {(4.1)}^{3}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $4.1$ в степень $4$ .

$f'' (4.1) = - 30 \cdot 282.5761 + 120 {(4.1)}^{3}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 30$ на $282.5761$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 {(4.1)}^{3}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $4.1$ в степень $3$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 \cdot 68.921$

Этап 8.2.1.4

Умножим $120$ на $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 8270.52$

Этап 8.2.2

Добавим $- 8477.283$ и $8270.52$ .

$f'' (4.1) = - 206.763$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 206.763$ .

$- 206.763$

Этап 8.3

При $4.1$ вторая производная имеет вид $- 206.763$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(4, \infty)$ .

Убывание на $(4, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 2037)$ .

$(0, 13), (4, 2037)$

Этап 10