Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} + 6 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$24 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x + 6 + 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $24 x + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 6$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x + 6$ .

$24 x + 6$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$24 x + 6 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$24 x = - 6$

Этап 2.3

Разделим каждый член $24 x = - 6$ на $24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $24 x = - 6$ на $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{24}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{24}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $24$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \frac{1}{4}$ в $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 {(- \frac{1}{4})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{64}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 (16)}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 16}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.9

Умножим $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{16}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.12

Объединим $3$ и $\frac{1}{16}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (- \frac{1}{4})$

Этап 3.1.2.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (\frac{- 1}{4})$

Этап 3.1.2.1.13.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 (- 3) (\frac{- 1}{4})$

Этап 3.1.2.1.13.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Этап 3.1.2.1.13.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Этап 3.1.2.1.13.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 3 (\frac{- 1}{2})$

Этап 3.1.2.1.14

Объединим $- 3$ и $\frac{- 1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Этап 3.1.2.1.15

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 + 3}{16} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2}{16} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 (1)}{16} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.3

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.1.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 3.1.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Этап 3.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 3 \cdot 4}{8}$

Этап 3.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 12}{8}$

Этап 3.1.2.6.2

Добавим $1$ и $12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{13}{8}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $\frac{13}{8}$ .

$\frac{13}{8}$

Этап 3.2

Подставляя $- \frac{1}{4}$ в $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ , найдем точку $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (- \frac{1}{4}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{1}{4})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = 24 (- 0.35) + 6$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $24$ на $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = - 8.4 + 6$

Этап 5.2.2

Добавим $- 8.4$ и $6$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.4$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 2.4$ .

$- 2.4$

Этап 5.3

При $- 0.35$ вторая производная имеет вид $- 2.4$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{1}{4})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{1}{4})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{1}{4}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.15$ .

$f'' (- 0.15) = 24 (- 0.15) + 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $24$ на $- 0.15$ .

$f'' (- 0.15) = - 3.6 + 6$

Этап 6.2.2

Добавим $- 3.6$ и $6$ .

$f'' (- 0.15) = 2.4$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2.4$ .

$2.4$

Этап 6.3

При $- 0.15$ вторая производная имеет вид $2.4$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{1}{4}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{1}{4}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Этап 8